Номер 26.6, страница 72, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

26.6. Найдите значение $sin2\alpha$, $cos2\alpha$, $ctg2\alpha$ и $tg2\alpha$, если $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ и $\sin\alpha = \frac{2}{5}$.

По условию задачи $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$, что означает, что угол $\alpha$ находится во второй тригонометрической четверти. Для углов в этой четверти значение синуса положительно, а значение косинуса отрицательно.

Нам дано, что $\sin\alpha = \frac{2}{5}$.

Для нахождения значений тригонометрических функций двойного угла, сначала найдем $\cos\alpha$. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \left(\frac{2}{5}\right)^2 = 1 - \frac{4}{25} = \frac{25-4}{25} = \frac{21}{25}$.

Так как $\alpha$ находится во второй четверти, $\cos\alpha < 0$, поэтому мы выбираем отрицательное значение корня:

$\cos\alpha = -\sqrt{\frac{21}{25}} = -\frac{\sqrt{21}}{5}$.

Теперь мы можем найти требуемые значения.

sin2α

Применим формулу синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.

Подставим известные значения $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$:

$\sin(2\alpha) = 2 \cdot \left(\frac{2}{5}\right) \cdot \left(-\frac{\sqrt{21}}{5}\right) = -\frac{4\sqrt{21}}{25}$.

Ответ: $-\frac{4\sqrt{21}}{25}$.

cos2α

Применим формулу косинуса двойного угла. Удобнее всего использовать формулу, зависящую только от синуса: $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha$.

Подставим известное значение $\sin\alpha$:

$\cos(2\alpha) = 1 - 2\left(\frac{2}{5}\right)^2 = 1 - 2\left(\frac{4}{25}\right) = 1 - \frac{8}{25} = \frac{17}{25}$.

Ответ: $\frac{17}{25}$.

ctg2α

Котангенс двойного угла можно найти по формуле $\cot(2\alpha) = \frac{\cos(2\alpha)}{\sin(2\alpha)}$.

Подставим найденные ранее значения $\cos(2\alpha)$ и $\sin(2\alpha)$:

$\cot(2\alpha) = \frac{\frac{17}{25}}{-\frac{4\sqrt{21}}{25}} = \frac{17}{25} \cdot \left(-\frac{25}{4\sqrt{21}}\right) = -\frac{17}{4\sqrt{21}}$.

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{21}$:

$\cot(2\alpha) = -\frac{17 \cdot \sqrt{21}}{4\sqrt{21} \cdot \sqrt{21}} = -\frac{17\sqrt{21}}{4 \cdot 21} = -\frac{17\sqrt{21}}{84}$.

Ответ: $-\frac{17\sqrt{21}}{84}$.

tg2α

Тангенс двойного угла можно найти по формуле $\tan(2\alpha) = \frac{\sin(2\alpha)}{\cos(2\alpha)}$ или как величину, обратную котангенсу: $\tan(2\alpha) = \frac{1}{\cot(2\alpha)}$.

Используя найденные значения $\sin(2\alpha)$ и $\cos(2\alpha)$:

$\tan(2\alpha) = \frac{-\frac{4\sqrt{21}}{25}}{\frac{17}{25}} = -\frac{4\sqrt{21}}{25} \cdot \frac{25}{17} = -\frac{4\sqrt{21}}{17}$.

Ответ: $-\frac{4\sqrt{21}}{17}$.