Номер 26.12, страница 73, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

26.12. Найдите значения: $ \sin \frac{\alpha}{2} $, $ \cos \frac{\alpha}{2} $, $ \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} $, если $ \sin \alpha = \frac{14}{50} $ и $ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $.

По условию задачи дано, что $sin\alpha = \frac{14}{50} = \frac{7}{25}$ и $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$.
Неравенство $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ означает, что угол $\alpha$ находится во второй координатной четверти.
Чтобы определить, в какой четверти находится угол $\frac{\alpha}{2}$, разделим неравенство на 2: $\frac{\pi/2}{2} < \frac{\alpha}{2} < \frac{\pi}{2}$, что дает $\frac{\pi}{4} < \frac{\alpha}{2} < \frac{\pi}{2}$. Это соответствует первой координатной четверти.
В первой четверти значения синуса, косинуса и тангенса положительны.
Для вычисления значений тригонометрических функций половинного угла нам понадобится значение $cos\alpha$. Найдем его из основного тригонометрического тождества $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$.
$cos^2\alpha = 1 - sin^2\alpha = 1 - (\frac{7}{25})^2 = 1 - \frac{49}{625} = \frac{625 - 49}{625} = \frac{576}{625}$.
$cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{576}{625}} = \pm\frac{24}{25}$.
Так как угол $\alpha$ находится во второй четверти, его косинус отрицателен, поэтому $cos\alpha = -\frac{24}{25}$.
Теперь мы можем найти требуемые значения.

$sin\frac{\alpha}{2}$
Используем формулу понижения степени для синуса (формулу половинного угла):
$sin^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - cos\alpha}{2}$.
Подставим найденное значение $cos\alpha$:
$sin^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - (-\frac{24}{25})}{2} = \frac{1 + \frac{24}{25}}{2} = \frac{\frac{25+24}{25}}{2} = \frac{\frac{49}{25}}{2} = \frac{49}{50}$.
$sin\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{49}{50}} = \pm\frac{7}{\sqrt{50}} = \pm\frac{7}{5\sqrt{2}} = \pm\frac{7\sqrt{2}}{10}$.
Поскольку угол $\frac{\alpha}{2}$ находится в первой четверти, его синус положителен.
Ответ: $sin\frac{\alpha}{2} = \frac{7\sqrt{2}}{10}$.

$cos\frac{\alpha}{2}$
Используем формулу понижения степени для косинуса (формулу половинного угла):
$cos^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 + cos\alpha}{2}$.
Подставим значение $cos\alpha$:
$cos^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 + (-\frac{24}{25})}{2} = \frac{1 - \frac{24}{25}}{2} = \frac{\frac{25-24}{25}}{2} = \frac{\frac{1}{25}}{2} = \frac{1}{50}$.
$cos\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1}{50}} = \pm\frac{1}{\sqrt{50}} = \pm\frac{1}{5\sqrt{2}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{10}$.
Поскольку угол $\frac{\alpha}{2}$ находится в первой четверти, его косинус положителен.
Ответ: $cos\frac{\alpha}{2} = \frac{\sqrt{2}}{10}$.

$tg\frac{\alpha}{2}$
Тангенс можно найти как отношение синуса к косинусу:
$tg\frac{\alpha}{2} = \frac{sin\frac{\alpha}{2}}{cos\frac{\alpha}{2}} = \frac{\frac{7\sqrt{2}}{10}}{\frac{\sqrt{2}}{10}} = 7$.
Также можно использовать одну из формул тангенса половинного угла:
$tg\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - cos\alpha}{sin\alpha} = \frac{1 - (-\frac{24}{25})}{\frac{7}{25}} = \frac{1 + \frac{24}{25}}{\frac{7}{25}} = \frac{\frac{49}{25}}{\frac{7}{25}} = \frac{49}{7} = 7$.
Ответ: $tg\frac{\alpha}{2} = 7$.