Номер 26.19, страница 74, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

26.19. Упростите выражение:

1) $\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos\alpha}$

2) $\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sin\alpha}$

3) $\sqrt{\frac{1 + \cos4\alpha}{2}}$

4) $\sqrt{\frac{1 - \cos6\alpha}{8}}$

5) $\sqrt{2 + \sqrt{2 + 2\cos4\alpha}}$, если $0 \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$.

1)

Для упрощения выражения $\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos\alpha}$ вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки под корнем:

$\sqrt{\frac{1}{2}(1 - \cos\alpha)}$

Воспользуемся формулой понижения степени для синуса (формулой половинного угла): $1 - \cos\alpha = 2\sin^2\frac{\alpha}{2}$.

Подставим это выражение под корень:

$\sqrt{\frac{1}{2} \cdot 2\sin^2\frac{\alpha}{2}} = \sqrt{\sin^2\frac{\alpha}{2}}$

По определению квадратного корня, $\sqrt{x^2} = |x|$. Следовательно:

$\sqrt{\sin^2\frac{\alpha}{2}} = |\sin\frac{\alpha}{2}|$

Поскольку область значений угла $\alpha$ не задана, необходимо оставить знак модуля.

Ответ: $|\sin\frac{\alpha}{2}|$.

2)

Рассмотрим выражение $\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sin\alpha}$. Вынесем $\frac{1}{2}$ за скобки:

$\sqrt{\frac{1}{2}(1 - \sin\alpha)}$

Используем формулу приведения $\sin\alpha = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$:

$\sqrt{\frac{1}{2}(1 - \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha))}$

Теперь применим формулу половинного угла $1 - \cos(x) = 2\sin^2\frac{x}{2}$, где $x = \frac{\pi}{2} - \alpha$. Тогда $\frac{x}{2} = \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}$.

$\sqrt{\frac{1}{2} \cdot 2\sin^2(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2})} = \sqrt{\sin^2(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2})}$

Извлекая корень, получаем модуль выражения:

$|\sin(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2})|$

Ответ: $|\sin(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2})|$.

3)

Упростим выражение $\sqrt{\frac{1 + \cos 4\alpha}{2}}$.

Это выражение соответствует правой части формулы понижения степени для косинуса: $\cos^2x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$.

В нашем случае $2x = 4\alpha$, откуда $x = 2\alpha$.

Следовательно, выражение под корнем равно $\cos^2(2\alpha)$:

$\sqrt{\frac{1 + \cos 4\alpha}{2}} = \sqrt{\cos^2(2\alpha)}$

Извлекая корень, получаем:

$|\cos(2\alpha)|$

Ответ: $|\cos(2\alpha)|$.

4)

Рассмотрим выражение $\sqrt{\frac{1 - \cos 6\alpha}{8}}$.

Преобразуем знаменатель: $8 = 4 \cdot 2$.

$\sqrt{\frac{1 - \cos 6\alpha}{4 \cdot 2}} = \sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{1 - \cos 6\alpha}{2}} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1 - \cos 6\alpha}{2}}$

Выражение под корнем $\frac{1 - \cos 6\alpha}{2}$ соответствует формуле понижения степени для синуса $\sin^2x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$.

В нашем случае $2x = 6\alpha$, откуда $x = 3\alpha$.

Получаем:

$\frac{1}{2}\sqrt{\sin^2(3\alpha)} = \frac{1}{2}|\sin(3\alpha)|$

Ответ: $\frac{1}{2}|\sin(3\alpha)|$.

5)

Упростим выражение $\sqrt{2 + \sqrt{2 + 2\cos 4\alpha}}$ при условии $0 \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$.

Начнем с внутреннего радикала: $\sqrt{2 + 2\cos 4\alpha}$.

$\sqrt{2(1 + \cos 4\alpha)} = \sqrt{2 \cdot 2\cos^2(2\alpha)} = \sqrt{4\cos^2(2\alpha)} = 2|\cos(2\alpha)|$

Теперь исходное выражение имеет вид:

$\sqrt{2 + 2|\cos(2\alpha)|}$

Рассмотрим знак $\cos(2\alpha)$ в зависимости от $\alpha$. Условие $0 \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$ означает, что $0 \le 2\alpha \le \pi$.

Разобьем этот промежуток на две части:

Случай 1: $0 \le \alpha \le \frac{\pi}{4}$.

В этом случае $0 \le 2\alpha \le \frac{\pi}{2}$, и $\cos(2\alpha) \ge 0$. Значит, $|\cos(2\alpha)| = \cos(2\alpha)$.

Выражение становится $\sqrt{2 + 2\cos(2\alpha)} = \sqrt{2(1 + \cos(2\alpha))} = \sqrt{2 \cdot 2\cos^2\alpha} = \sqrt{4\cos^2\alpha} = 2|\cos\alpha|$.

Так как при $0 \le \alpha \le \frac{\pi}{4}$ косинус неотрицателен, $|\cos\alpha| = \cos\alpha$.

Результат для этого случая: $2\cos\alpha$.

Случай 2: $\frac{\pi}{4} < \alpha \le \frac{\pi}{2}$.

В этом случае $\frac{\pi}{2} < 2\alpha \le \pi$, и $\cos(2\alpha) \le 0$. Значит, $|\cos(2\alpha)| = -\cos(2\alpha)$.

Выражение становится $\sqrt{2 - 2\cos(2\alpha)} = \sqrt{2(1 - \cos(2\alpha))} = \sqrt{2 \cdot 2\sin^2\alpha} = \sqrt{4\sin^2\alpha} = 2|\sin\alpha|$.

Так как при $\frac{\pi}{4} < \alpha \le \frac{\pi}{2}$ синус положителен, $|\sin\alpha| = \sin\alpha$.

Результат для этого случая: $2\sin\alpha$.

Ответ: $2\cos\alpha$, если $0 \le \alpha \le \frac{\pi}{4}$; $2\sin\alpha$, если $\frac{\pi}{4} < \alpha \le \frac{\pi}{2}$.