Номер 26.22, страница 74, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

26.22. Вычислите:

1) $cos20^\circ \cdot cos40^\circ \cdot cos80^\circ$;

2) $sin^2 10^\circ \cdot sin^2 50^\circ \cdot sin^2 70^\circ$;

3) $cos20^\circ \cdot cos40^\circ \cdot cos60^\circ \cdot cos80^\circ$;

4) $cos \frac{\pi}{5} \cdot cos \frac{2\pi}{5}$;

5) $sin \frac{\pi}{10} \cdot sin \frac{3\pi}{10}$.

1) $ \cos20^\circ \cdot \cos40^\circ \cdot \cos80^\circ $

Для вычисления этого произведения воспользуемся методом, основанным на формуле синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha $. Домножим и разделим исходное выражение на $ 2\sin20^\circ $ (это возможно, так как $ \sin20^\circ \neq 0 $).

$ \cos20^\circ \cdot \cos40^\circ \cdot \cos80^\circ = \frac{2\sin20^\circ\cos20^\circ \cdot \cos40^\circ \cdot \cos80^\circ}{2\sin20^\circ} $

Применяя формулу синуса двойного угла к $ 2\sin20^\circ\cos20^\circ $, получаем $ \sin(2 \cdot 20^\circ) = \sin40^\circ $:

$ \frac{\sin40^\circ \cdot \cos40^\circ \cdot \cos80^\circ}{2\sin20^\circ} $

Снова домножим числитель и знаменатель на 2, чтобы применить формулу двойного угла к $ \sin40^\circ\cos40^\circ $:

$ \frac{2\sin40^\circ\cos40^\circ \cdot \cos80^\circ}{2 \cdot 2\sin20^\circ} = \frac{\sin(2 \cdot 40^\circ) \cdot \cos80^\circ}{4\sin20^\circ} = \frac{\sin80^\circ \cdot \cos80^\circ}{4\sin20^\circ} $

Повторим операцию еще раз:

$ \frac{2\sin80^\circ\cos80^\circ}{2 \cdot 4\sin20^\circ} = \frac{\sin(2 \cdot 80^\circ)}{8\sin20^\circ} = \frac{\sin160^\circ}{8\sin20^\circ} $

Теперь воспользуемся формулой приведения $ \sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha $:

$ \sin160^\circ = \sin(180^\circ - 20^\circ) = \sin20^\circ $

Подставим это значение обратно в выражение:

$ \frac{\sin20^\circ}{8\sin20^\circ} = \frac{1}{8} $

Ответ: $ \frac{1}{8} $.

2) $ \sin^2 10^\circ \cdot \sin^2 50^\circ \cdot \sin^2 70^\circ $

Сначала найдем значение выражения $ P = \sin10^\circ \cdot \sin50^\circ \cdot \sin70^\circ $, а затем возведем результат в квадрат. Используем формулу приведения $ \sin\alpha = \cos(90^\circ - \alpha) $.

$ \sin10^\circ = \cos(90^\circ - 10^\circ) = \cos80^\circ $

$ \sin50^\circ = \cos(90^\circ - 50^\circ) = \cos40^\circ $

$ \sin70^\circ = \cos(90^\circ - 70^\circ) = \cos20^\circ $

Тогда произведение $P$ принимает вид:

$ P = \cos80^\circ \cdot \cos40^\circ \cdot \cos20^\circ $

Это то же самое выражение, что и в пункте 1. Следовательно, $ P = \frac{1}{8} $.

Исходное выражение равно квадрату этого значения:

$ \sin^2 10^\circ \cdot \sin^2 50^\circ \cdot \sin^2 70^\circ = P^2 = \left(\frac{1}{8}\right)^2 = \frac{1}{64} $

Ответ: $ \frac{1}{64} $.

3) $ \cos20^\circ \cdot \cos40^\circ \cdot \cos60^\circ \cdot \cos80^\circ $

Это выражение можно перегруппировать следующим образом:

$ (\cos20^\circ \cdot \cos40^\circ \cdot \cos80^\circ) \cdot \cos60^\circ $

Из решения пункта 1 мы знаем, что значение выражения в скобках равно $ \frac{1}{8} $.

Значение $ \cos60^\circ $ является табличным: $ \cos60^\circ = \frac{1}{2} $.

Теперь перемножим полученные значения:

$ \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{16} $

Ответ: $ \frac{1}{16} $.

4) $ \cos\frac{\pi}{5} \cdot \cos\frac{2\pi}{5} $

Для вычисления этого произведения используем тот же метод, что и в пункте 1. Домножим и разделим выражение на $ 2\sin\frac{\pi}{5} $.

$ \cos\frac{\pi}{5} \cdot \cos\frac{2\pi}{5} = \frac{2\sin\frac{\pi}{5}\cos\frac{\pi}{5} \cdot \cos\frac{2\pi}{5}}{2\sin\frac{\pi}{5}} $

Применим формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha $:

$ \frac{\sin(2 \cdot \frac{\pi}{5}) \cdot \cos\frac{2\pi}{5}}{2\sin\frac{\pi}{5}} = \frac{\sin\frac{2\pi}{5} \cdot \cos\frac{2\pi}{5}}{2\sin\frac{\pi}{5}} $

Снова домножим числитель и знаменатель на 2:

$ \frac{2\sin\frac{2\pi}{5}\cos\frac{2\pi}{5}}{2 \cdot 2\sin\frac{\pi}{5}} = \frac{\sin(2 \cdot \frac{2\pi}{5})}{4\sin\frac{\pi}{5}} = \frac{\sin\frac{4\pi}{5}}{4\sin\frac{\pi}{5}} $

Используем формулу приведения $ \sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha $:

$ \sin\frac{4\pi}{5} = \sin(\pi - \frac{\pi}{5}) = \sin\frac{\pi}{5} $

Подставим результат в наше выражение:

$ \frac{\sin\frac{\pi}{5}}{4\sin\frac{\pi}{5}} = \frac{1}{4} $

Ответ: $ \frac{1}{4} $.

5) $ \sin\frac{\pi}{10} \cdot \sin\frac{3\pi}{10} $

Для удобства переведем радианы в градусы: $ \frac{\pi}{10} = 18^\circ $, $ \frac{3\pi}{10} = 54^\circ $. Выражение принимает вид $ \sin18^\circ \cdot \sin54^\circ $.

Воспользуемся формулой приведения $ \sin\alpha = \cos(90^\circ - \alpha) $:

$ \sin54^\circ = \cos(90^\circ - 54^\circ) = \cos36^\circ $

Наше произведение становится $ \sin18^\circ \cdot \cos36^\circ $. Домножим и разделим его на $ 2\cos18^\circ $.

$ \frac{2\sin18^\circ\cos18^\circ \cdot \cos36^\circ}{2\cos18^\circ} $

Применим формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha $:

$ \frac{\sin(2 \cdot 18^\circ) \cdot \cos36^\circ}{2\cos18^\circ} = \frac{\sin36^\circ \cdot \cos36^\circ}{2\cos18^\circ} $

Снова домножим числитель и знаменатель на 2:

$ \frac{2\sin36^\circ\cos36^\circ}{2 \cdot 2\cos18^\circ} = \frac{\sin(2 \cdot 36^\circ)}{4\cos18^\circ} = \frac{\sin72^\circ}{4\cos18^\circ} $

Снова воспользуемся формулой приведения $ \sin\alpha = \cos(90^\circ - \alpha) $:

$ \sin72^\circ = \cos(90^\circ - 72^\circ) = \cos18^\circ $

Подставим это в выражение:

$ \frac{\cos18^\circ}{4\cos18^\circ} = \frac{1}{4} $

Ответ: $ \frac{1}{4} $.