Номер 26.16, страница 73, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

26.16. Докажите тождество:

1) $2 + \frac{\cos 3\alpha}{\cos \alpha} - \frac{\sin 3\alpha}{\sin \alpha} = 0;$

2) $\operatorname{tg} \alpha + 2\operatorname{ctg} 2\alpha = \operatorname{ctg} \alpha;$

3) $\operatorname{tg} 2\alpha + 2\operatorname{ctg} 2\alpha = \frac{2}{\sin 4\alpha};$

4) $\frac{1 - \cos \alpha + \cos 2\alpha}{\sin 2\alpha - \sin \alpha} = \operatorname{ctg} \alpha;$

5) $\operatorname{ctg} \alpha - \cos 2\alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha = \sin 2\alpha;$

6) $\operatorname{ctg} 2\alpha - \sin 4\alpha = \cos 4\alpha \cdot \operatorname{ctg} 2\alpha;$

7) $1 + \cos(3\pi + 3\alpha) \cos 2\alpha - \cos(1.5\pi - 3\alpha) \sin 2\alpha = 2\sin^2 2.5\alpha;$

8) $\operatorname{tg}^4 \alpha \cdot (8\cos^2 (\pi - \alpha) - \cos (\pi + 4\alpha) - 1) = 8\sin^4 \alpha;$

9) $\frac{1 - 2\sin^2 \alpha}{2\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) \cos^2\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right)} = 1;$

10) $2\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2} \cdot (\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{ctg}\alpha) \cdot \left(1 - \operatorname{tg}^2\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1}{\cos^4 \frac{\alpha}{2}}.$

1) Докажем тождество $2 + \frac{\cos 3\alpha}{\cos \alpha} - \frac{\sin 3\alpha}{\sin \alpha} = 0$.

Преобразуем левую часть равенства, приведя дроби к общему знаменателю $\sin\alpha\cos\alpha$:

$2 + \frac{\cos 3\alpha}{\cos \alpha} - \frac{\sin 3\alpha}{\sin \alpha} = \frac{2\sin\alpha\cos\alpha + \sin\alpha\cos 3\alpha - \cos\alpha\sin 3\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}$

В числителе используем формулу синуса двойного угла $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin 2\alpha$ и формулу синуса разности $\sin(A - B) = \sin A\cos B - \cos A\sin B$:

$\sin\alpha\cos 3\alpha - \cos\alpha\sin 3\alpha = \sin(\alpha - 3\alpha) = \sin(-2\alpha) = -\sin 2\alpha$

Тогда числитель примет вид:

$\sin 2\alpha - \sin 2\alpha = 0$

Таким образом, все выражение равно 0 (при условии, что знаменатель $\sin\alpha\cos\alpha \neq 0$):

$\frac{0}{\sin\alpha\cos\alpha} = 0$

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $2 + \frac{\cos 3\alpha}{\cos \alpha} - \frac{\sin 3\alpha}{\sin \alpha} = 0$.

2) Докажем тождество $\text{tg}\alpha + 2\text{ctg}2\alpha = \text{ctg}\alpha$.

Преобразуем левую часть. Выразим тангенс и котангенс через синус и косинус, используя формулу двойного угла $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$:

$\text{tg}\alpha + 2\text{ctg}2\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + 2\frac{\cos 2\alpha}{\sin 2\alpha} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + 2\frac{\cos 2\alpha}{2\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\cos 2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{\sin^2\alpha + \cos 2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}$

Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$:

$\frac{\sin^2\alpha + (\cos^2\alpha - \sin^2\alpha)}{\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{\cos^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \text{ctg}\alpha$

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $\text{tg}\alpha + 2\text{ctg}2\alpha = \text{ctg}\alpha$.

3) Докажем тождество $\text{tg}2\alpha + 2\text{ctg}2\alpha = \frac{2}{\sin 4\alpha}$.

Примечание: В условии задачи, скорее всего, опечатка. Тождество в виде $\text{tg}2\alpha + 2\text{ctg}2\alpha = \frac{2}{\sin 4\alpha}$ неверно. Вероятно, имелось в виду $\text{tg}2\alpha + \text{ctg}2\alpha = \frac{2}{\sin 4\alpha}$. Докажем скорректированное тождество.

Преобразуем левую часть, выразив тангенс и котангенс через синус и косинус:

$\text{tg}2\alpha + \text{ctg}2\alpha = \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} + \frac{\cos 2\alpha}{\sin 2\alpha} = \frac{\sin^2 2\alpha + \cos^2 2\alpha}{\sin 2\alpha \cos 2\alpha}$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ и формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$, получим:

$\frac{1}{\sin 2\alpha \cos 2\alpha} = \frac{1}{\frac{1}{2} (2\sin 2\alpha \cos 2\alpha)} = \frac{1}{\frac{1}{2}\sin(2 \cdot 2\alpha)} = \frac{2}{\sin 4\alpha}$

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $\text{tg}2\alpha + \text{ctg}2\alpha = \frac{2}{\sin 4\alpha}$.

4) Докажем тождество $\frac{1 - \cos\alpha + \cos 2\alpha}{\sin 2\alpha - \sin\alpha} = \text{ctg}\alpha$.

Преобразуем числитель, используя формулу $1 + \cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha$:

$1 - \cos\alpha + \cos 2\alpha = (1 + \cos 2\alpha) - \cos\alpha = 2\cos^2\alpha - \cos\alpha = \cos\alpha(2\cos\alpha - 1)$

Преобразуем знаменатель, используя формулу $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$:

$\sin 2\alpha - \sin\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha - \sin\alpha = \sin\alpha(2\cos\alpha - 1)$

Теперь подставим преобразованные выражения в левую часть:

$\frac{\cos\alpha(2\cos\alpha - 1)}{\sin\alpha(2\cos\alpha - 1)}$

Сократим общий множитель $(2\cos\alpha - 1)$ (при условии, что он не равен нулю):

$\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \text{ctg}\alpha$

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $\frac{1 - \cos\alpha + \cos 2\alpha}{\sin 2\alpha - \sin\alpha} = \text{ctg}\alpha$.

5) Докажем тождество $\text{ctg}\alpha - \cos 2\alpha \cdot \text{ctg}\alpha = \sin 2\alpha$.

В левой части вынесем общий множитель $\text{ctg}\alpha$ за скобки:

$\text{ctg}\alpha (1 - \cos 2\alpha)$

Используем формулу понижения степени $1 - \cos 2\alpha = 2\sin^2\alpha$:

$\text{ctg}\alpha \cdot (2\sin^2\alpha) = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \cdot 2\sin^2\alpha$

Сократим $\sin\alpha$:

$2\sin\alpha\cos\alpha$

По формуле синуса двойного угла, это выражение равно $\sin 2\alpha$.

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $\text{ctg}\alpha - \cos 2\alpha \cdot \text{ctg}\alpha = \sin 2\alpha$.

6) Докажем тождество $\text{ctg}2\alpha - \sin 4\alpha = \cos 4\alpha \cdot \text{ctg}2\alpha$.

Перенесем слагаемое с $\text{ctg}2\alpha$ в левую часть:

$\text{ctg}2\alpha - \cos 4\alpha \cdot \text{ctg}2\alpha = \sin 4\alpha$

Вынесем общий множитель $\text{ctg}2\alpha$ за скобки:

$\text{ctg}2\alpha (1 - \cos 4\alpha)$

Используем формулу понижения степени $1 - \cos(2x) = 2\sin^2(x)$, где $x=2\alpha$:

$1 - \cos 4\alpha = 2\sin^2(2\alpha)$

Подставим в выражение:

$\text{ctg}2\alpha \cdot 2\sin^2(2\alpha) = \frac{\cos 2\alpha}{\sin 2\alpha} \cdot 2\sin^2(2\alpha)$

Сократим $\sin 2\alpha$:

$2\sin 2\alpha \cos 2\alpha$

По формуле синуса двойного угла, это выражение равно $\sin(2 \cdot 2\alpha) = \sin 4\alpha$.

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $\text{ctg}2\alpha - \sin 4\alpha = \cos 4\alpha \cdot \text{ctg}2\alpha$.

7) Докажем тождество $1 + \cos(3\pi + 3\alpha)\cos 2\alpha - \cos(1.5\pi - 3\alpha)\sin 2\alpha = 2\sin^2(2.5\alpha)$.

Упростим тригонометрические функции, используя формулы приведения:

$\cos(3\pi + 3\alpha) = \cos(2\pi + \pi + 3\alpha) = \cos(\pi + 3\alpha) = -\cos(3\alpha)$

$\cos(1.5\pi - 3\alpha) = \cos(\frac{3\pi}{2} - 3\alpha) = -\sin(3\alpha)$

Подставим эти выражения в левую часть:

$1 + (-\cos(3\alpha))\cos 2\alpha - (-\sin(3\alpha))\sin 2\alpha = 1 - \cos 3\alpha \cos 2\alpha + \sin 3\alpha \sin 2\alpha$

$= 1 - (\cos 3\alpha \cos 2\alpha - \sin 3\alpha \sin 2\alpha)$

Используем формулу косинуса суммы $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$:

$1 - \cos(3\alpha + 2\alpha) = 1 - \cos(5\alpha)$

Используем формулу понижения степени $1 - \cos x = 2\sin^2(x/2)$:

$1 - \cos(5\alpha) = 2\sin^2(\frac{5\alpha}{2}) = 2\sin^2(2.5\alpha)$

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $1 + \cos(3\pi + 3\alpha)\cos 2\alpha - \cos(1.5\pi - 3\alpha)\sin 2\alpha = 2\sin^2(2.5\alpha)$.

8) Докажем тождество $\text{tg}^4\alpha \cdot (8\cos^2(\pi - \alpha) - \cos(\pi + 4\alpha) - 1) = 8\sin^4\alpha$.

Преобразуем выражение в скобках, используя формулы приведения:

$\cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha \Rightarrow \cos^2(\pi - \alpha) = \cos^2\alpha$

$\cos(\pi + 4\alpha) = -\cos(4\alpha)$

Выражение в скобках становится:

$8\cos^2\alpha - (-\cos(4\alpha)) - 1 = 8\cos^2\alpha + \cos(4\alpha) - 1$

Используем формулу косинуса двойного угла $\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1$. Сначала для $\cos(4\alpha) = 2\cos^2(2\alpha) - 1$:

$8\cos^2\alpha + (2\cos^2(2\alpha) - 1) - 1 = 8\cos^2\alpha + 2\cos^2(2\alpha) - 2$

Теперь для $\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1$:

$8\cos^2\alpha + 2(2\cos^2\alpha - 1)^2 - 2 = 8\cos^2\alpha + 2(4\cos^4\alpha - 4\cos^2\alpha + 1) - 2$

$= 8\cos^2\alpha + 8\cos^4\alpha - 8\cos^2\alpha + 2 - 2 = 8\cos^4\alpha$

Подставим результат в левую часть исходного тождества:

$\text{tg}^4\alpha \cdot (8\cos^4\alpha) = \frac{\sin^4\alpha}{\cos^4\alpha} \cdot 8\cos^4\alpha = 8\sin^4\alpha$

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $\text{tg}^4\alpha \cdot (8\cos^2(\pi - \alpha) - \cos(\pi + 4\alpha) - 1) = 8\sin^4\alpha$.

9) Докажем тождество $\frac{1 - 2\sin^2\alpha}{2\text{ctg}(\frac{\pi}{4} - \alpha)\cos^2(\frac{\pi}{4} + \alpha)} = 1$.

Преобразуем числитель, используя формулу косинуса двойного угла $1 - 2\sin^2\alpha = \cos(2\alpha)$.

Преобразуем знаменатель. Используем формулы приведения:

$\text{ctg}(\frac{\pi}{4} - \alpha) = \frac{\cos(\frac{\pi}{4} - \alpha)}{\sin(\frac{\pi}{4} - \alpha)}$

$\cos(\frac{\pi}{4} + \alpha) = \sin(\frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{4} + \alpha)) = \sin(\frac{\pi}{4} - \alpha)$

Тогда знаменатель равен:

$2 \cdot \frac{\cos(\frac{\pi}{4} - \alpha)}{\sin(\frac{\pi}{4} - \alpha)} \cdot \sin^2(\frac{\pi}{4} - \alpha) = 2\sin(\frac{\pi}{4} - \alpha)\cos(\frac{\pi}{4} - \alpha)$

Используем формулу синуса двойного угла $2\sin x \cos x = \sin(2x)$:

$2\sin(\frac{\pi}{4} - \alpha)\cos(\frac{\pi}{4} - \alpha) = \sin(2(\frac{\pi}{4} - \alpha)) = \sin(\frac{\pi}{2} - 2\alpha)$

Снова по формуле приведения $\sin(\frac{\pi}{2} - 2\alpha) = \cos(2\alpha)$.

Подставим преобразованные числитель и знаменатель в исходное выражение:

$\frac{\cos(2\alpha)}{\cos(2\alpha)} = 1$

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $\frac{1 - 2\sin^2\alpha}{2\text{ctg}(\frac{\pi}{4} - \alpha)\cos^2(\frac{\pi}{4} + \alpha)} = 1$.

10) Докажем тождество $2\text{tg}\frac{\alpha}{2} \cdot (\text{tg}\alpha + \text{ctg}\alpha) \cdot (1 - \text{tg}^2\frac{\alpha}{2}) = \frac{1}{\cos^4\frac{\alpha}{2}}$.

Преобразуем каждый множитель в левой части, выражая их через синусы и косинусы половинного угла $\frac{\alpha}{2}$.

1. $\text{tg}\frac{\alpha}{2} = \frac{\sin(\alpha/2)}{\cos(\alpha/2)}$

2. $\text{tg}\alpha + \text{ctg}\alpha = \frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}$. Используя формулы двойного угла $\sin\alpha = 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}$ и $\cos\alpha = \cos^2\frac{\alpha}{2} - \sin^2\frac{\alpha}{2}$, получаем:

$\text{tg}\alpha + \text{ctg}\alpha = \frac{1}{(2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2})(\cos^2\frac{\alpha}{2} - \sin^2\frac{\alpha}{2})}$

3. $1 - \text{tg}^2\frac{\alpha}{2} = 1 - \frac{\sin^2(\alpha/2)}{\cos^2(\alpha/2)} = \frac{\cos^2(\alpha/2) - \sin^2(\alpha/2)}{\cos^2(\alpha/2)}$

Теперь перемножим все части:

$2 \cdot \frac{\sin(\alpha/2)}{\cos(\alpha/2)} \cdot \frac{1}{(2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2})(\cos^2\frac{\alpha}{2} - \sin^2\frac{\alpha}{2})} \cdot \frac{\cos^2(\alpha/2) - \sin^2(\alpha/2)}{\cos^2(\alpha/2)}$

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе: $2$, $\sin(\alpha/2)$ и $(\cos^2(\alpha/2) - \sin^2(\alpha/2))$.

Остается:

$\frac{1}{\cos(\alpha/2)} \cdot \frac{1}{\cos(\alpha/2)} \cdot \frac{1}{\cos^2(\alpha/2)} = \frac{1}{\cos^4(\alpha/2)}$

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $2\text{tg}\frac{\alpha}{2} \cdot (\text{tg}\alpha + \text{ctg}\alpha) \cdot (1 - \text{tg}^2\frac{\alpha}{2}) = \frac{1}{\cos^4\frac{\alpha}{2}}$.