Номер 26.11, страница 73, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

26.11. Найдите значения: $ \sin \frac{\alpha}{2} $, $ \cos \frac{\alpha}{2} $, $ \operatorname{ctg} \frac{\alpha}{2} $ и $ \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} $, если $ \cos \alpha = \frac{1}{3} $ и

$ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2}. $

Для решения задачи нам понадобятся формулы половинного угла. По условию, нам дано, что $\cos\alpha = \frac{1}{3}$ и $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$.

Сначала определим, в какой четверти находится угол $\frac{\alpha}{2}$. Разделив неравенство $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ на 2, мы получим $0 < \frac{\alpha}{2} < \frac{\pi}{4}$. Это означает, что угол $\frac{\alpha}{2}$ находится в первой четверти. В первой четверти все тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс и котангенс) имеют положительные значения. Это важно при извлечении квадратного корня.

$\sin\frac{\alpha}{2}$
Используем формулу синуса половинного угла: $\sin^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos\alpha}{2}$.
Подставим известное значение $\cos\alpha = \frac{1}{3}$:
$\sin^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \frac{1}{3}}{2} = \frac{\frac{2}{3}}{2} = \frac{2}{3 \cdot 2} = \frac{1}{3}$.
Поскольку угол $\frac{\alpha}{2}$ находится в первой четверти, его синус положителен.
$\sin\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$

$\cos\frac{\alpha}{2}$
Используем формулу косинуса половинного угла: $\cos^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos\alpha}{2}$.
Подставим известное значение $\cos\alpha = \frac{1}{3}$:
$\cos^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \frac{1}{3}}{2} = \frac{\frac{4}{3}}{2} = \frac{4}{3 \cdot 2} = \frac{2}{3}$.
Поскольку угол $\frac{\alpha}{2}$ находится в первой четверти, его косинус положителен.
$\cos\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{3}$

$\text{ctg}\frac{\alpha}{2}$
Котангенс можно найти как отношение косинуса к синусу: $\text{ctg}\frac{\alpha}{2} = \frac{\cos\frac{\alpha}{2}}{\sin\frac{\alpha}{2}}$.
Подставим найденные значения $\sin\frac{\alpha}{2}$ и $\cos\frac{\alpha}{2}$:
$\text{ctg}\frac{\alpha}{2} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{6}{3}} = \sqrt{2}$.
Ответ: $\sqrt{2}$

$\text{tg}\frac{\alpha}{2}$
Тангенс можно найти как отношение синуса к косинусу: $\text{tg}\frac{\alpha}{2} = \frac{\sin\frac{\alpha}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}}$.
Подставим найденные значения:
$\text{tg}\frac{\alpha}{2} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{\sqrt{6}}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Также тангенс является обратной функцией к котангенсу: $\text{tg}\frac{\alpha}{2} = \frac{1}{\text{ctg}\frac{\alpha}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$