Номер 26.8, страница 72, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

26.8. Найдите значения: $sin\alpha$, $cos\alpha$, $tg\alpha$, если $tg\frac{\alpha}{2}=0.5$.

Для нахождения значений $\sin\alpha$, $\cos\alpha$ и $\tg\alpha$, зная значение $\tg\frac{\alpha}{2}$, воспользуемся формулами выражения тригонометрических функций через тангенс половинного угла (универсальная тригонометрическая подстановка).

Дано: $\tg\frac{\alpha}{2} = 0,5 = \frac{1}{2}$.

sinα

Используем формулу: $\sin\alpha = \frac{2\tg\frac{\alpha}{2}}{1 + \tg^2\frac{\alpha}{2}}$.

Подставляем известное значение $\tg\frac{\alpha}{2} = 0,5$:

$\sin\alpha = \frac{2 \cdot 0,5}{1 + (0,5)^2} = \frac{1}{1 + 0,25} = \frac{1}{1,25}$

Для удобства вычислений переведем десятичные дроби в обыкновенные:

$\sin\alpha = \frac{1}{1,25} = \frac{1}{5/4} = \frac{4}{5} = 0,8$.

Ответ: $\sin\alpha = 0,8$.

cosα

Используем формулу: $\cos\alpha = \frac{1 - \tg^2\frac{\alpha}{2}}{1 + \tg^2\frac{\alpha}{2}}$.

Подставляем известное значение $\tg\frac{\alpha}{2} = 0,5$:

$\cos\alpha = \frac{1 - (0,5)^2}{1 + (0,5)^2} = \frac{1 - 0,25}{1 + 0,25} = \frac{0,75}{1,25}$

Переведем десятичные дроби в обыкновенные:

$\cos\alpha = \frac{0,75}{1,25} = \frac{3/4}{5/4} = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} = \frac{3}{5} = 0,6$.

Ответ: $\cos\alpha = 0,6$.

tgα

Значение тангенса можно найти двумя способами:

1. По формуле двойного угла для тангенса: $\tg\alpha = \frac{2\tg\frac{\alpha}{2}}{1 - \tg^2\frac{\alpha}{2}}$.

$\tg\alpha = \frac{2 \cdot 0,5}{1 - (0,5)^2} = \frac{1}{1 - 0,25} = \frac{1}{0,75} = \frac{1}{3/4} = \frac{4}{3}$.

2. Используя уже найденные значения синуса и косинуса, по определению тангенса: $\tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$.

$\tg\alpha = \frac{0,8}{0,6} = \frac{8/10}{6/10} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$.

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: $\tg\alpha = \frac{4}{3}$.