Номер 26.14, страница 73, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

26.14. Докажите тождество:

1) $1 + \sin\alpha = 2\cos^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right);$

2) $1 - \sin\alpha = 2\sin^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right).$

1) Докажем тождество $1 + \sin\alpha = 2\cos^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right)$.

Для доказательства преобразуем левую часть равенства. Сначала воспользуемся формулой приведения, чтобы выразить синус через косинус: $\sin\alpha = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)$.

Подставим это выражение в левую часть тождества:

$1 + \sin\alpha = 1 + \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)$.

Далее, используем формулу понижения степени для косинуса, которая является следствием формулы косинуса двойного угла $\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1$. Из нее следует, что $1 + \cos(2x) = 2\cos^2(x)$.

В нашем случае, аргумент $2x$ равен $\frac{\pi}{2} - \alpha$. Отсюда находим $x$:

$2x = \frac{\pi}{2} - \alpha \implies x = \frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}$.

Применяя формулу, получаем:

$1 + \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = 2\cos^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right)$.

Таким образом, мы преобразовали левую часть исходного равенства к виду правой части. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Докажем тождество $1 - \sin\alpha = 2\sin^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right)$.

Доказательство этого тождества аналогично предыдущему. Преобразуем левую часть, используя ту же формулу приведения: $\sin\alpha = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)$.

Подставляем в левую часть:

$1 - \sin\alpha = 1 - \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)$.

Теперь используем другую формулу понижения степени, которая также является следствием формулы косинуса двойного угла $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x)$. Из нее следует, что $1 - \cos(2x) = 2\sin^2(x)$.

Как и в первом пункте, аргумент $2x$ равен $\frac{\pi}{2} - \alpha$, и, следовательно, $x = \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}$.

Применив формулу, получаем:

$1 - \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = 2\sin^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right)$.

Таким образом, левая часть исходного равенства равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.