Номер 26.18, страница 74, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

26.18. Вычислите:

1) $tg(\alpha + \frac{\pi}{4})$, если $cos2\alpha = \frac{1}{3}$ и $\pi < \alpha < \frac{5\pi}{4}$;

2) $tg\beta + ctg\beta$, если $cos2\beta = 0,8$ и $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$;

3) $tg^2(\frac{3\pi}{4} - \alpha)$, если $sin2\alpha = -\frac{1}{3}$;

4) $ctg^2(\frac{\pi}{4} + \beta)$, если $sin2\beta = 0,25$;

5) $cos2\alpha$, если $\frac{cos\alpha - 2sin\alpha}{sin\alpha - 2cos\alpha} = -0,5$;

6) $sin2\alpha$, если $\frac{cos\alpha + 2sin\alpha}{2sin\alpha - 3cos\alpha} = -2$.

1) tg(α + π/4), если cos2α = 1/3 и π < α < 5π/4;

Для вычисления тангенса суммы воспользуемся формулой $tg(x+y) = \frac{tgx + tgy}{1 - tgx \cdot tgy}$. В нашем случае $x = \alpha$ и $y = \frac{\pi}{4}$.

Так как $tg\frac{\pi}{4} = 1$, формула принимает вид:

$tg(\alpha + \frac{\pi}{4}) = \frac{tg\alpha + tg\frac{\pi}{4}}{1 - tg\alpha \cdot tg\frac{\pi}{4}} = \frac{tg\alpha + 1}{1 - tg\alpha}$.

Теперь нам нужно найти значение $tg\alpha$. Используем формулу, связывающую $cos2\alpha$ и $tg\alpha$:

$cos2\alpha = \frac{1 - tg^2\alpha}{1 + tg^2\alpha}$.

Подставим известное значение $cos2\alpha = \frac{1}{3}$:

$\frac{1}{3} = \frac{1 - tg^2\alpha}{1 + tg^2\alpha}$

$1 \cdot (1 + tg^2\alpha) = 3 \cdot (1 - tg^2\alpha)$

$1 + tg^2\alpha = 3 - 3tg^2\alpha$

$4tg^2\alpha = 2$

$tg^2\alpha = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

По условию, угол $\alpha$ находится в интервале $\pi < \alpha < \frac{5\pi}{4}$, что соответствует третьей четверти. В третьей четверти тангенс положителен.

Следовательно, $tg\alpha = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Подставим найденное значение $tg\alpha$ в выражение для $tg(\alpha + \frac{\pi}{4})$:

$tg(\alpha + \frac{\pi}{4}) = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} + 1}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\frac{\sqrt{2} + 2}{2}}{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}} = \frac{2 + \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(2 + \sqrt{2})$:

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}} \cdot \frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}} = \frac{(2 + \sqrt{2})^2}{2^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{4 + 4\sqrt{2} + 2}{4 - 2} = \frac{6 + 4\sqrt{2}}{2} = 3 + 2\sqrt{2}$.

Ответ: $3 + 2\sqrt{2}$.

2) tgβ + ctgβ, если cos2β = 0,8 и π/2 < α < π;

(Предполагается, что в условии опечатка и имеется в виду $\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$)

Сначала упростим искомое выражение:

$tg\beta + ctg\beta = \frac{sin\beta}{cos\beta} + \frac{cos\beta}{sin\beta} = \frac{sin^2\beta + cos^2\beta}{sin\beta \cdot cos\beta}$.

Используя основное тригонометрическое тождество $sin^2\beta + cos^2\beta = 1$ и формулу синуса двойного угла $sin2\beta = 2sin\beta cos\beta$, получаем:

$tg\beta + ctg\beta = \frac{1}{\frac{1}{2}sin2\beta} = \frac{2}{sin2\beta}$.

Теперь найдем $sin2\beta$, зная, что $cos2\beta = 0,8$. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:

$sin^2(2\beta) + cos^2(2\beta) = 1$

$sin^2(2\beta) = 1 - cos^2(2\beta) = 1 - (0,8)^2 = 1 - 0,64 = 0,36$.

Определим знак $sin2\beta$. По условию $\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$. Умножим неравенство на 2, чтобы определить четверть для угла $2\beta$:

$\pi < 2\beta < 2\pi$.

Этот диапазон соответствует третьей и четвертой четвертям, где синус отрицателен. Значит, $sin2\beta = -\sqrt{0,36} = -0,6$.

Подставим это значение в наше выражение:

$tg\beta + ctg\beta = \frac{2}{sin2\beta} = \frac{2}{-0,6} = \frac{2}{-\frac{6}{10}} = -\frac{20}{6} = -\frac{10}{3}$.

Ответ: $-\frac{10}{3}$.

3) tg²(3π/4 - α), если sin2α = -1/3;

Для решения этой задачи воспользуемся связью тангенса и косинуса двойного угла. Пусть $x = \frac{3\pi}{4} - \alpha$. Тогда нам нужно найти $tg^2x$.

Рассмотрим $cos(2x) = cos(2(\frac{3\pi}{4} - \alpha)) = cos(\frac{3\pi}{2} - 2\alpha)$.

По формуле приведения, $cos(\frac{3\pi}{2} - 2\alpha) = -sin(2\alpha)$.

Поскольку $sin2\alpha = -\frac{1}{3}$, получаем:

$cos(2(\frac{3\pi}{4} - \alpha)) = -(-\frac{1}{3}) = \frac{1}{3}$.

Теперь используем формулу косинуса двойного угла через тангенс: $cos(2x) = \frac{1 - tg^2x}{1 + tg^2x}$.

Пусть $Y = tg^2(\frac{3\pi}{4} - \alpha)$. Тогда:

$\frac{1}{3} = \frac{1 - Y}{1 + Y}$

$1 \cdot (1 + Y) = 3 \cdot (1 - Y)$

$1 + Y = 3 - 3Y$

$4Y = 2$

$Y = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Следовательно, $tg^2(\frac{3\pi}{4} - \alpha) = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

4) ctg²(π/4 + β), если sin2β = 0,25;

Решение аналогично предыдущей задаче. Пусть $x = \frac{\pi}{4} + \beta$. Нам нужно найти $ctg^2x = \frac{1}{tg^2x}$.

Найдем сначала $tg^2x$. Рассмотрим $cos(2x) = cos(2(\frac{\pi}{4} + \beta)) = cos(\frac{\pi}{2} + 2\beta)$.

По формуле приведения, $cos(\frac{\pi}{2} + 2\beta) = -sin(2\beta)$.

Поскольку $sin2\beta = 0,25 = \frac{1}{4}$, получаем:

$cos(2(\frac{\pi}{4} + \beta)) = -0,25 = -\frac{1}{4}$.

Используем формулу $cos(2x) = \frac{1 - tg^2x}{1 + tg^2x}$. Пусть $T = tg^2(\frac{\pi}{4} + \beta)$.

$-\frac{1}{4} = \frac{1 - T}{1 + T}$

$-1 \cdot (1 + T) = 4 \cdot (1 - T)$

$-1 - T = 4 - 4T$

$3T = 5$

$T = \frac{5}{3}$.

Итак, $tg^2(\frac{\pi}{4} + \beta) = \frac{5}{3}$.

Тогда $ctg^2(\frac{\pi}{4} + \beta) = \frac{1}{tg^2(\frac{\pi}{4} + \beta)} = \frac{1}{5/3} = \frac{3}{5}$.

Ответ: $\frac{3}{5}$.

5) cos2α, если (cosα - 2sinα)/(sinα - 2cosα) = -0,5;

Из данного уравнения найдем значение $tg\alpha$.

$\frac{cos\alpha - 2sin\alpha}{sin\alpha - 2cos\alpha} = -0,5 = -\frac{1}{2}$

$2(cos\alpha - 2sin\alpha) = -1(sin\alpha - 2cos\alpha)$

$2cos\alpha - 4sin\alpha = -sin\alpha + 2cos\alpha$

$-4sin\alpha = -sin\alpha$

$3sin\alpha = 0$

$sin\alpha = 0$.

Если $sin\alpha = 0$, то $tg\alpha = 0$ (при этом $cos\alpha = \pm 1 \neq 0$).

Теперь вычислим $cos2\alpha$ по формуле, использующей тангенс:

$cos2\alpha = \frac{1 - tg^2\alpha}{1 + tg^2\alpha} = \frac{1 - 0^2}{1 + 0^2} = \frac{1}{1} = 1$.

Ответ: $1$.

6) sin2α, если (cosα + 2sinα)/(2sinα - 3cosα) = -2.

Из данного уравнения найдем значение $tg\alpha$.

$\frac{cos\alpha + 2sin\alpha}{2sin\alpha - 3cos\alpha} = -2$

$cos\alpha + 2sin\alpha = -2(2sin\alpha - 3cos\alpha)$

$cos\alpha + 2sin\alpha = -4sin\alpha + 6cos\alpha$

Сгруппируем слагаемые с синусом и косинусом:

$2sin\alpha + 4sin\alpha = 6cos\alpha - cos\alpha$

$6sin\alpha = 5cos\alpha$

Разделим обе части на $cos\alpha$ (это возможно, так как если $cos\alpha=0$, то и $sin\alpha=0$, что противоречит основному тригонометрическому тождеству):

$\frac{6sin\alpha}{cos\alpha} = 5$

$6tg\alpha = 5$

$tg\alpha = \frac{5}{6}$.

Теперь вычислим $sin2\alpha$ по формуле, использующей тангенс:

$sin2\alpha = \frac{2tg\alpha}{1 + tg^2\alpha} = \frac{2 \cdot \frac{5}{6}}{1 + (\frac{5}{6})^2} = \frac{\frac{10}{6}}{1 + \frac{25}{36}} = \frac{\frac{5}{3}}{\frac{36}{36} + \frac{25}{36}} = \frac{\frac{5}{3}}{\frac{61}{36}}$.

$\sin2\alpha = \frac{5}{3} \cdot \frac{36}{61} = \frac{5 \cdot 12}{61} = \frac{60}{61}$.

Ответ: $\frac{60}{61}$.