Номер 26.25, страница 75, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

26.25. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения:

1) $ \cos^2 x + 3\sin^2 x $;

2) $ \sin^4 x + \cos^4 x $;

3) $ \sin^6 x + \cos^6 x $.

1) $\cos^2x + 3\sin^2x$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений выражения $\cos^2x + 3\sin^2x$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2x + \cos^2x = 1$. Выразим $\cos^2x$ через $\sin^2x$: $\cos^2x = 1 - \sin^2x$.

Подставим это в исходное выражение:

$ (1 - \sin^2x) + 3\sin^2x = 1 + 2\sin^2x $

Теперь нам нужно найти область значений выражения $1 + 2\sin^2x$. Мы знаем, что значения $\sin x$ лежат в диапазоне от -1 до 1, то есть $-1 \le \sin x \le 1$.

При возведении в квадрат значения $\sin x$, мы получаем, что $0 \le \sin^2x \le 1$.

Чтобы найти наименьшее значение выражения, мы должны взять наименьшее возможное значение для $\sin^2x$, которое равно 0.

Наименьшее значение: $1 + 2 \cdot 0 = 1$.

Чтобы найти наибольшее значение выражения, мы должны взять наибольшее возможное значение для $\sin^2x$, которое равно 1.

Наибольшее значение: $1 + 2 \cdot 1 = 3$.

Ответ: наименьшее значение 1, наибольшее значение 3.

2) $\sin^4x + \cos^4x$

Преобразуем выражение $\sin^4x + \cos^4x$, дополнив его до полного квадрата суммы. Мы знаем, что $a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$. Применим эту формулу, где $a = \sin^2x$ и $b = \cos^2x$.

$\sin^4x + \cos^4x = (\sin^2x)^2 + (\cos^2x)^2 = (\sin^2x + \cos^2x)^2 - 2\sin^2x\cos^2x$

Так как $\sin^2x + \cos^2x = 1$, выражение упрощается до:

$1^2 - 2\sin^2x\cos^2x = 1 - 2(\sin x\cos x)^2$

Воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin(2x) = 2\sin x\cos x$, откуда $\sin x\cos x = \frac{1}{2}\sin(2x)$.

Подставим это в наше выражение:

$1 - 2\left(\frac{1}{2}\sin(2x)\right)^2 = 1 - 2\left(\frac{1}{4}\sin^2(2x)\right) = 1 - \frac{1}{2}\sin^2(2x)$

Область значений для $\sin^2(2x)$ такая же, как и для $\sin^2x$, то есть $0 \le \sin^2(2x) \le 1$.

Наибольшее значение выражения достигается, когда вычитаемое $\frac{1}{2}\sin^2(2x)$ минимально. Это происходит при $\sin^2(2x) = 0$.

Наибольшее значение: $1 - \frac{1}{2} \cdot 0 = 1$.

Наименьшее значение выражения достигается, когда вычитаемое $\frac{1}{2}\sin^2(2x)$ максимально. Это происходит при $\sin^2(2x) = 1$.

Наименьшее значение: $1 - \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

Ответ: наименьшее значение $\frac{1}{2}$, наибольшее значение 1.

3) $\sin^6x + \cos^6x$

Преобразуем выражение $\sin^6x + \cos^6x$, используя формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$. Пусть $a = \sin^2x$ и $b = \cos^2x$.

$\sin^6x + \cos^6x = (\sin^2x)^3 + (\cos^2x)^3 = (\sin^2x + \cos^2x)((\sin^2x)^2 - \sin^2x\cos^2x + (\cos^2x)^2)$

Зная, что $\sin^2x + \cos^2x = 1$ и $\sin^4x + \cos^4x = (\sin^2x)^2 + (\cos^2x)^2$, получаем:

$1 \cdot (\sin^4x + \cos^4x - \sin^2x\cos^2x)$

Из предыдущего пункта мы знаем, что $\sin^4x + \cos^4x = 1 - 2\sin^2x\cos^2x$. Подставим это:

$(1 - 2\sin^2x\cos^2x) - \sin^2x\cos^2x = 1 - 3\sin^2x\cos^2x$

Снова используем замену $\sin x\cos x = \frac{1}{2}\sin(2x)$:

$1 - 3\left(\frac{1}{2}\sin(2x)\right)^2 = 1 - 3\left(\frac{1}{4}\sin^2(2x)\right) = 1 - \frac{3}{4}\sin^2(2x)$

Область значений для $\sin^2(2x)$ равна $[0, 1]$.

Наибольшее значение выражения достигается при наименьшем значении $\sin^2(2x)$, то есть при $\sin^2(2x)=0$.

Наибольшее значение: $1 - \frac{3}{4} \cdot 0 = 1$.

Наименьшее значение выражения достигается при наибольшем значении $\sin^2(2x)$, то есть при $\sin^2(2x)=1$.

Наименьшее значение: $1 - \frac{3}{4} \cdot 1 = \frac{1}{4}$.

Ответ: наименьшее значение $\frac{1}{4}$, наибольшее значение 1.