Номер 26.29, страница 75, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

26.29. Представьте в виде произведения выражение:

1) $sin(\alpha + \beta) + sin(\alpha - \beta)$; 2) $cos(\alpha + \beta) + cos(\alpha - \beta)$;

3) $sin(\alpha + \beta) - sin(\alpha - \beta)$; 4) $cos(\alpha + \beta) + cos(\alpha - \beta)$.

1) Для того чтобы представить выражение $sin(\alpha + \beta) + sin(\alpha - \beta)$ в виде произведения, воспользуемся формулами синуса суммы и синуса разности:

$sin(\alpha + \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) + cos(\alpha)sin(\beta)$

$sin(\alpha - \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) - cos(\alpha)sin(\beta)$

Теперь сложим эти два равенства почленно:

$sin(\alpha + \beta) + sin(\alpha - \beta) = (sin(\alpha)cos(\beta) + cos(\alpha)sin(\beta)) + (sin(\alpha)cos(\beta) - cos(\alpha)sin(\beta))$

Упростим правую часть, приведя подобные слагаемые:

$sin(\alpha + \beta) + sin(\alpha - \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) + sin(\alpha)cos(\beta) + cos(\alpha)sin(\beta) - cos(\alpha)sin(\beta) = 2sin(\alpha)cos(\beta)$

Ответ: $2sin(\alpha)cos(\beta)$

2) Для преобразования выражения $cos(\alpha + \beta) + cos(\alpha - \beta)$ в произведение используем формулы косинуса суммы и косинуса разности:

$cos(\alpha + \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) - sin(\alpha)sin(\beta)$

$cos(\alpha - \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) + sin(\alpha)sin(\beta)$

Сложим эти два равенства:

$cos(\alpha + \beta) + cos(\alpha - \beta) = (cos(\alpha)cos(\beta) - sin(\alpha)sin(\beta)) + (cos(\alpha)cos(\beta) + sin(\alpha)sin(\beta))$

Упростим правую часть выражения:

$cos(\alpha + \beta) + cos(\alpha - \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) + cos(\alpha)cos(\beta) - sin(\alpha)sin(\beta) + sin(\alpha)sin(\beta) = 2cos(\alpha)cos(\beta)$

Ответ: $2cos(\alpha)cos(\beta)$

3) Чтобы представить выражение $sin(\alpha + \beta) - sin(\alpha - \beta)$ в виде произведения, снова обратимся к формулам синуса суммы и разности:

$sin(\alpha + \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) + cos(\alpha)sin(\beta)$

$sin(\alpha - \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) - cos(\alpha)sin(\beta)$

Теперь вычтем из первого равенства второе:

$sin(\alpha + \beta) - sin(\alpha - \beta) = (sin(\alpha)cos(\beta) + cos(\alpha)sin(\beta)) - (sin(\alpha)cos(\beta) - cos(\alpha)sin(\beta))$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$sin(\alpha + \beta) - sin(\alpha - \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) + cos(\alpha)sin(\beta) - sin(\alpha)cos(\beta) + cos(\alpha)sin(\beta) = 2cos(\alpha)sin(\beta)$

Ответ: $2cos(\alpha)sin(\beta)$

4) Данное выражение $cos(\alpha + \beta) + cos(\alpha - \beta)$ полностью идентично выражению из пункта 2), следовательно, результат будет таким же.

Повторим решение. Используем формулы косинуса суммы и косинуса разности:

$cos(\alpha + \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) - sin(\alpha)sin(\beta)$

$cos(\alpha - \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) + sin(\alpha)sin(\beta)$

Складывая эти два равенства, получаем:

$cos(\alpha + \beta) + cos(\alpha - \beta) = (cos(\alpha)cos(\beta) - sin(\alpha)sin(\beta)) + (cos(\alpha)cos(\beta) + sin(\alpha)sin(\beta)) = 2cos(\alpha)cos(\beta)$

Ответ: $2cos(\alpha)cos(\beta)$

Примечание: Вероятно, в условии пункта 4 допущена опечатка, и на самом деле имелось в виду выражение с разностью косинусов: $cos(\alpha + \beta) - cos(\alpha - \beta)$. На случай, если это так, приведем решение и для этого варианта.

Вычтем из формулы косинуса суммы формулу косинуса разности:

$cos(\alpha + \beta) - cos(\alpha - \beta) = (cos(\alpha)cos(\beta) - sin(\alpha)sin(\beta)) - (cos(\alpha)cos(\beta) + sin(\alpha)sin(\beta))$

Раскроем скобки и упростим:

$cos(\alpha + \beta) - cos(\alpha - \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) - sin(\alpha)sin(\beta) - cos(\alpha)cos(\beta) - sin(\alpha)sin(\beta) = -2sin(\alpha)sin(\beta)$

Таким образом, для выражения $cos(\alpha + \beta) - cos(\alpha - \beta)$ результатом было бы $-2sin(\alpha)sin(\beta)$.