Номер 27.5, страница 80, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

27.5. Докажите тождество:

1) $(sin\alpha + sin\beta)^2 + (cos\alpha + cos\beta)^2 = 4 cos^2\frac{\alpha - \beta}{2};$

2) $sin^2(x + y) - sin^2(x - y) = sin2x sin2y;$

3) $cos^2(\alpha + \beta) - cos^2(\alpha - \beta) = -sin2\alpha sin2\beta;$

4) $(sinx - siny)^2 + (cosx - cosy)^2 = 4sin^2\frac{x - y}{2}.$

1) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть, используя формулы суммы синусов и суммы косинусов:
$sinα + sinβ = 2sin\frac{α+β}{2}cos\frac{α-β}{2}$
$cosα + cosβ = 2cos\frac{α+β}{2}cos\frac{α-β}{2}$
Подставим эти выражения в левую часть равенства:
$(sinα + sinβ)^2 + (cosα + cosβ)^2 = (2sin\frac{α+β}{2}cos\frac{α-β}{2})^2 + (2cos\frac{α+β}{2}cos\frac{α-β}{2})^2$
Возведем в квадрат:
$= 4sin^2\frac{α+β}{2}cos^2\frac{α-β}{2} + 4cos^2\frac{α+β}{2}cos^2\frac{α-β}{2}$
Вынесем общий множитель $4cos^2\frac{α-β}{2}$ за скобки:
$= 4cos^2\frac{α-β}{2} (sin^2\frac{α+β}{2} + cos^2\frac{α+β}{2})$
В скобках находится выражение, равное 1 согласно основному тригонометрическому тождеству ($sin^2x + cos^2x = 1$):
$= 4cos^2\frac{α-β}{2} \cdot 1 = 4cos^2\frac{α-β}{2}$
Левая часть равна правой, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

2) Для доказательства преобразуем левую часть, применив формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$sin^2(x + y) - sin^2(x - y) = (sin(x+y) - sin(x-y))(sin(x+y) + sin(x-y))$
Теперь применим формулы преобразования суммы и разности синусов в произведение:
$sin(x+y) - sin(x-y) = 2cos\frac{(x+y)+(x-y)}{2}sin\frac{(x+y)-(x-y)}{2} = 2cosxsiny$
$sin(x+y) + sin(x-y) = 2sin\frac{(x+y)+(x-y)}{2}cos\frac{(x+y)-(x-y)}{2} = 2sinxcosy$
Подставим полученные произведения обратно в выражение:
$= (2cosxsiny) \cdot (2sinxcosy)$
Сгруппируем множители:
$= (2sinxcosx) \cdot (2sinycosy)$
Применим формулу синуса двойного угла $sin(2α) = 2sinαcosα$:
$= sin2x \cdot sin2y$
Левая часть равна правой, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

3) Для доказательства преобразуем левую часть, применив формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$cos^2(α + β) - cos^2(α - β) = (cos(α+β) - cos(α-β))(cos(α+β) + cos(α-β))$
Теперь применим формулы преобразования суммы и разности косинусов в произведение:
$cos(α+β) - cos(α-β) = -2sin\frac{(α+β)+(α-β)}{2}sin\frac{(α+β)-(α-β)}{2} = -2sinαsinβ$
$cos(α+β) + cos(α-β) = 2cos\frac{(α+β)+(α-β)}{2}cos\frac{(α+β)-(α-β)}{2} = 2cosαcosβ$
Подставим полученные произведения обратно в выражение:
$= (-2sinαsinβ) \cdot (2cosαcosβ)$
Сгруппируем множители:
$= -(2sinαcosα) \cdot (2sinβcosβ)$
Применим формулу синуса двойного угла $sin(2x) = 2sinxcosx$:
$= -sin2α \cdot sin2β$
Левая часть равна правой, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

4) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть, используя формулы разности синусов и разности косинусов:
$sinx - siny = 2cos\frac{x+y}{2}sin\frac{x-y}{2}$
$cosx - cosy = -2sin\frac{x+y}{2}sin\frac{x-y}{2}$
Подставим эти выражения в левую часть равенства:
$(sinx - siny)^2 + (cosx - cosy)^2 = (2cos\frac{x+y}{2}sin\frac{x-y}{2})^2 + (-2sin\frac{x+y}{2}sin\frac{x-y}{2})^2$
Возведем в квадрат:
$= 4cos^2\frac{x+y}{2}sin^2\frac{x-y}{2} + 4sin^2\frac{x+y}{2}sin^2\frac{x-y}{2}$
Вынесем общий множитель $4sin^2\frac{x-y}{2}$ за скобки:
$= 4sin^2\frac{x-y}{2} (cos^2\frac{x+y}{2} + sin^2\frac{x+y}{2})$
Выражение в скобках равно 1 согласно основному тригонометрическому тождеству ($sin^2α + cos^2α = 1$):
$= 4sin^2\frac{x-y}{2} \cdot 1 = 4sin^2\frac{x-y}{2}$
Левая часть равна правой, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.