Номер 27.10, страница 81, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

27.10. Преобразуйте выражение и найдите его значение:

1) $\frac{\sin 36^\circ + \sin 40^\circ + \sin 44^\circ + \sin 48^\circ}{2 \sin 88^\circ \cos 4^\circ \sin 42^\circ}$;

2) $\frac{\cos 6^\circ + \cos 12^\circ + \cos 36^\circ + \cos 42^\circ}{\sin 87^\circ \cos 15^\circ \cos 24^\circ}$;

3) $\frac{\cos 16^\circ - \cos 24^\circ - \cos 32^\circ + \cos 40^\circ}{\cos 86^\circ \sin 8^\circ \cos 28^\circ}$;

4) $\frac{\sin 48^\circ - \sin 60^\circ - \sin 72^\circ + \sin 84^\circ}{4 \cos 84^\circ \sin 12^\circ \sin 66^\circ}$.

1)Преобразуем числитель выражения. Сгруппируем слагаемые: $(\sin 36^\circ + \sin 48^\circ) + (\sin 40^\circ + \sin 44^\circ)$.
Применим формулу суммы синусов $\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$ к каждой группе:
$\sin 36^\circ + \sin 48^\circ = 2\sin\frac{36^\circ+48^\circ}{2}\cos\frac{48^\circ-36^\circ}{2} = 2\sin 42^\circ \cos 6^\circ$.
$\sin 40^\circ + \sin 44^\circ = 2\sin\frac{40^\circ+44^\circ}{2}\cos\frac{44^\circ-40^\circ}{2} = 2\sin 42^\circ \cos 2^\circ$.
Теперь числитель имеет вид: $2\sin 42^\circ \cos 6^\circ + 2\sin 42^\circ \cos 2^\circ = 2\sin 42^\circ(\cos 6^\circ + \cos 2^\circ)$.
Применим формулу суммы косинусов $\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$:
$\cos 6^\circ + \cos 2^\circ = 2\cos\frac{6^\circ+2^\circ}{2}\cos\frac{6^\circ-2^\circ}{2} = 2\cos 4^\circ \cos 2^\circ$.
Таким образом, весь числитель равен $2\sin 42^\circ (2\cos 4^\circ \cos 2^\circ) = 4\sin 42^\circ \cos 4^\circ \cos 2^\circ$.
Преобразуем знаменатель, используя формулу приведения $\sin(90^\circ - \alpha) = \cos \alpha$:
$2\sin 88^\circ \cos 4^\circ \sin 42^\circ = 2\sin(90^\circ-2^\circ)\cos 4^\circ \sin 42^\circ = 2\cos 2^\circ \cos 4^\circ \sin 42^\circ$.
Теперь найдём значение всего выражения:
$\frac{4\sin 42^\circ \cos 4^\circ \cos 2^\circ}{2\cos 2^\circ \cos 4^\circ \sin 42^\circ} = \frac{4}{2} = 2$.
Ответ: 2.

2)Преобразуем числитель выражения. Сгруппируем слагаемые: $(\cos 6^\circ + \cos 42^\circ) + (\cos 12^\circ + \cos 36^\circ)$.
Применим формулу суммы косинусов $\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$ к каждой группе:
$\cos 6^\circ + \cos 42^\circ = 2\cos\frac{6^\circ+42^\circ}{2}\cos\frac{42^\circ-6^\circ}{2} = 2\cos 24^\circ \cos 18^\circ$.
$\cos 12^\circ + \cos 36^\circ = 2\cos\frac{12^\circ+36^\circ}{2}\cos\frac{36^\circ-12^\circ}{2} = 2\cos 24^\circ \cos 12^\circ$.
Теперь числитель имеет вид: $2\cos 24^\circ \cos 18^\circ + 2\cos 24^\circ \cos 12^\circ = 2\cos 24^\circ(\cos 18^\circ + \cos 12^\circ)$.
Применим формулу суммы косинусов ещё раз:
$\cos 18^\circ + \cos 12^\circ = 2\cos\frac{18^\circ+12^\circ}{2}\cos\frac{18^\circ-12^\circ}{2} = 2\cos 15^\circ \cos 3^\circ$.
Таким образом, весь числитель равен $2\cos 24^\circ (2\cos 15^\circ \cos 3^\circ) = 4\cos 24^\circ \cos 15^\circ \cos 3^\circ$.
Преобразуем знаменатель, используя формулу приведения $\sin(90^\circ - \alpha) = \cos \alpha$:
$\sin 87^\circ \cos 15^\circ \cos 24^\circ = \sin(90^\circ-3^\circ)\cos 15^\circ \cos 24^\circ = \cos 3^\circ \cos 15^\circ \cos 24^\circ$.
Теперь найдём значение всего выражения:
$\frac{4\cos 24^\circ \cos 15^\circ \cos 3^\circ}{\cos 3^\circ \cos 15^\circ \cos 24^\circ} = 4$.
Ответ: 4.

3)Преобразуем числитель выражения. Сгруппируем слагаемые: $(\cos 16^\circ + \cos 40^\circ) - (\cos 24^\circ + \cos 32^\circ)$.
Применим формулу суммы косинусов $\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$ к каждой группе:
$\cos 16^\circ + \cos 40^\circ = 2\cos\frac{16^\circ+40^\circ}{2}\cos\frac{40^\circ-16^\circ}{2} = 2\cos 28^\circ \cos 12^\circ$.
$\cos 24^\circ + \cos 32^\circ = 2\cos\frac{24^\circ+32^\circ}{2}\cos\frac{32^\circ-24^\circ}{2} = 2\cos 28^\circ \cos 4^\circ$.
Теперь числитель имеет вид: $2\cos 28^\circ \cos 12^\circ - 2\cos 28^\circ \cos 4^\circ = 2\cos 28^\circ(\cos 12^\circ - \cos 4^\circ)$.
Применим формулу разности косинусов $\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$:
$\cos 12^\circ - \cos 4^\circ = -2\sin\frac{12^\circ+4^\circ}{2}\sin\frac{12^\circ-4^\circ}{2} = -2\sin 8^\circ \sin 4^\circ$.
Таким образом, весь числитель равен $2\cos 28^\circ (-2\sin 8^\circ \sin 4^\circ) = -4\cos 28^\circ \sin 8^\circ \sin 4^\circ$.
Преобразуем знаменатель, используя формулу приведения $\cos(90^\circ - \alpha) = \sin \alpha$:
$\cos 86^\circ \sin 8^\circ \cos 28^\circ = \cos(90^\circ-4^\circ)\sin 8^\circ \cos 28^\circ = \sin 4^\circ \sin 8^\circ \cos 28^\circ$.
Теперь найдём значение всего выражения:
$\frac{-4\cos 28^\circ \sin 8^\circ \sin 4^\circ}{\sin 4^\circ \sin 8^\circ \cos 28^\circ} = -4$.
Ответ: -4.

4)Преобразуем числитель выражения. Сгруппируем слагаемые: $(\sin 48^\circ + \sin 84^\circ) - (\sin 60^\circ + \sin 72^\circ)$.
Применим формулу суммы синусов $\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$ к каждой группе:
$\sin 48^\circ + \sin 84^\circ = 2\sin\frac{48^\circ+84^\circ}{2}\cos\frac{84^\circ-48^\circ}{2} = 2\sin 66^\circ \cos 18^\circ$.
$\sin 60^\circ + \sin 72^\circ = 2\sin\frac{60^\circ+72^\circ}{2}\cos\frac{72^\circ-60^\circ}{2} = 2\sin 66^\circ \cos 6^\circ$.
Теперь числитель имеет вид: $2\sin 66^\circ \cos 18^\circ - 2\sin 66^\circ \cos 6^\circ = 2\sin 66^\circ(\cos 18^\circ - \cos 6^\circ)$.
Применим формулу разности косинусов $\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$:
$\cos 18^\circ - \cos 6^\circ = -2\sin\frac{18^\circ+6^\circ}{2}\sin\frac{18^\circ-6^\circ}{2} = -2\sin 12^\circ \sin 6^\circ$.
Таким образом, весь числитель равен $2\sin 66^\circ (-2\sin 12^\circ \sin 6^\circ) = -4\sin 66^\circ \sin 12^\circ \sin 6^\circ$.
Преобразуем знаменатель, используя формулу приведения $\cos(90^\circ - \alpha) = \sin \alpha$:
$4\cos 84^\circ \sin 12^\circ \sin 66^\circ = 4\cos(90^\circ-6^\circ)\sin 12^\circ \sin 66^\circ = 4\sin 6^\circ \sin 12^\circ \sin 66^\circ$.
Теперь найдём значение всего выражения:
$\frac{-4\sin 66^\circ \sin 12^\circ \sin 6^\circ}{4\sin 6^\circ \sin 12^\circ \sin 66^\circ} = -1$.
Ответ: -1.