Номер 27.8, страница 80, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

27.8. Преобразуйте в произведение выражение:

1) $\sin^2\alpha - \sin^2\beta$;

2) $\cos^2\alpha - \cos^2\beta$;

3) $\frac{3}{4} - \sin^2x$;

4) $\cos^2x - \frac{1}{2}$.

1) Для преобразования выражения $\sin^2\alpha - \sin^2\beta$ применим формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.

$\sin^2\alpha - \sin^2\beta = (\sin\alpha - \sin\beta)(\sin\alpha + \sin\beta)$.

Далее, используем формулы преобразования суммы и разности синусов в произведение:

$\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$

$\sin\alpha - \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}$

Подставим эти выражения в наше равенство:

$(\sin\alpha - \sin\beta)(\sin\alpha + \sin\beta) = \left(2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \cdot \left(2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$

Сгруппируем множители для применения формулы синуса двойного угла $\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)$:

$\left(2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \cdot \left(2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\right) = \sin\left(2 \cdot \frac{\alpha+\beta}{2}\right) \cdot \sin\left(2 \cdot \frac{\alpha-\beta}{2}\right) = \sin(\alpha+\beta)\sin(\alpha-\beta)$.

Ответ: $\sin(\alpha+\beta)\sin(\alpha-\beta)$

2) Для преобразования выражения $\cos^2\alpha - \cos^2\beta$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\cos^2x = 1 - \sin^2x$.

$\cos^2\alpha - \cos^2\beta = (1-\sin^2\alpha) - (1-\sin^2\beta) = 1-\sin^2\alpha - 1 + \sin^2\beta = \sin^2\beta - \sin^2\alpha$.

Вынесем знак минус за скобки:

$\sin^2\beta - \sin^2\alpha = -(\sin^2\alpha - \sin^2\beta)$.

Из решения пункта 1 мы знаем, что $\sin^2\alpha - \sin^2\beta = \sin(\alpha+\beta)\sin(\alpha-\beta)$.

Следовательно, получаем:

$\cos^2\alpha - \cos^2\beta = -\sin(\alpha+\beta)\sin(\alpha-\beta)$.

Ответ: $-\sin(\alpha+\beta)\sin(\alpha-\beta)$

3) Рассмотрим выражение $\frac{3}{4} - \sin^2x$.

Представим число $\frac{3}{4}$ как квадрат синуса. Известно, что $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, следовательно, $\sin^2(\frac{\pi}{3}) = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4}$.

Подставим это в исходное выражение:

$\frac{3}{4} - \sin^2x = \sin^2\frac{\pi}{3} - \sin^2x$.

Это выражение соответствует форме $\sin^2\alpha - \sin^2\beta$ из пункта 1, где $\alpha=\frac{\pi}{3}$ и $\beta=x$.

Применяя формулу $\sin^2\alpha - \sin^2\beta = \sin(\alpha+\beta)\sin(\alpha-\beta)$, получаем:

$\sin^2\frac{\pi}{3} - \sin^2x = \sin\left(\frac{\pi}{3}+x\right)\sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)$.

Ответ: $\sin\left(\frac{\pi}{3}+x\right)\sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)$

4) Рассмотрим выражение $\cos^2x - \frac{1}{2}$.

Представим число $\frac{1}{2}$ как квадрат косинуса. Известно, что $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, следовательно, $\cos^2(\frac{\pi}{4}) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Подставим это в исходное выражение:

$\cos^2x - \frac{1}{2} = \cos^2x - \cos^2\frac{\pi}{4}$.

Это выражение соответствует форме $\cos^2\alpha - \cos^2\beta$ из пункта 2, где $\alpha=x$ и $\beta=\frac{\pi}{4}$.

Применяя формулу $\cos^2\alpha - \cos^2\beta = -\sin(\alpha+\beta)\sin(\alpha-\beta)$, получаем:

$\cos^2x - \cos^2\frac{\pi}{4} = -\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$.

Ответ: $-\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$