Номер 27.13, страница 81, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

27.13. Разложите на множители или представьте в виде дроби выражение:

1) $3 - 4 \sin^2 4\alpha$;

2) $4 \cos^2 4\beta - 3$;

3) $\operatorname{tg}^2 5\beta - 3$;

4) $1 - \operatorname{ctg}^2 3\alpha$.

1) Для преобразования выражения $3 - 4 \sin^2(4\alpha)$ воспользуемся формулой синуса тройного угла: $\sin(3x) = 3\sin(x) - 4\sin^3(x)$.

Если разделить обе части этого равенства на $\sin(x)$ (при условии, что $\sin(x) \neq 0$), получим тождество:

$\frac{\sin(3x)}{\sin(x)} = 3 - 4\sin^2(x)$.

В нашем выражении $3 - 4 \sin^2(4\alpha)$ аргумент $x$ соответствует $4\alpha$. Подставив $x = 4\alpha$ в полученное тождество, получаем:

$3 - 4 \sin^2(4\alpha) = \frac{\sin(3 \cdot 4\alpha)}{\sin(4\alpha)} = \frac{\sin(12\alpha)}{\sin(4\alpha)}$.

Таким образом, мы представили исходное выражение в виде дроби.

Ответ: $\frac{\sin(12\alpha)}{\sin(4\alpha)}$

2) Для преобразования выражения $4\cos^2(4\beta) - 3$ воспользуемся формулой косинуса тройного угла: $\cos(3x) = 4\cos^3(x) - 3\cos(x)$.

Если разделить обе части этого равенства на $\cos(x)$ (при условии, что $\cos(x) \neq 0$), получим тождество:

$\frac{\cos(3x)}{\cos(x)} = 4\cos^2(x) - 3$.

В нашем выражении $4\cos^2(4\beta) - 3$ аргумент $x$ соответствует $4\beta$. Подставив $x = 4\beta$ в полученное тождество, получаем:

$4\cos^2(4\beta) - 3 = \frac{\cos(3 \cdot 4\beta)}{\cos(4\beta)} = \frac{\cos(12\beta)}{\cos(4\beta)}$.

Таким образом, мы представили исходное выражение в виде дроби.

Ответ: $\frac{\cos(12\beta)}{\cos(4\beta)}$

3) Представим выражение $\tan^2(5\beta) - 3$ в виде дроби, используя определение тангенса $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$:

$\tan^2(5\beta) - 3 = \frac{\sin^2(5\beta)}{\cos^2(5\beta)} - 3 = \frac{\sin^2(5\beta) - 3\cos^2(5\beta)}{\cos^2(5\beta)}$.

Преобразуем числитель дроби, используя основное тригонометрическое тождество $\cos^2(x) = 1 - \sin^2(x)$:

$\sin^2(5\beta) - 3\cos^2(5\beta) = \sin^2(5\beta) - 3(1 - \sin^2(5\beta)) = \sin^2(5\beta) - 3 + 3\sin^2(5\beta) = 4\sin^2(5\beta) - 3$.

Выражение $4\sin^2(5\beta) - 3$ является противоположным выражению из тождества, использованного в пункте 1: $4\sin^2(5\beta) - 3 = -(3 - 4\sin^2(5\beta))$.

Используя тождество $3 - 4\sin^2(x) = \frac{\sin(3x)}{\sin(x)}$ с $x = 5\beta$, получаем:

$4\sin^2(5\beta) - 3 = -\frac{\sin(3 \cdot 5\beta)}{\sin(5\beta)} = -\frac{\sin(15\beta)}{\sin(5\beta)}$.

Подставим это обратно в нашу дробь:

$\frac{4\sin^2(5\beta) - 3}{\cos^2(5\beta)} = \frac{-\frac{\sin(15\beta)}{\sin(5\beta)}}{\cos^2(5\beta)} = -\frac{\sin(15\beta)}{\sin(5\beta)\cos^2(5\beta)}$.

Ответ: $-\frac{\sin(15\beta)}{\sin(5\beta)\cos^2(5\beta)}$

4) Представим выражение $1 - \cot^2(3\alpha)$ в виде дроби, используя определение котангенса $\cot(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}$:

$1 - \cot^2(3\alpha) = 1 - \frac{\cos^2(3\alpha)}{\sin^2(3\alpha)} = \frac{\sin^2(3\alpha) - \cos^2(3\alpha)}{\sin^2(3\alpha)}$.

Преобразуем числитель дроби. Он представляет собой формулу косинуса двойного угла с противоположным знаком:

$\sin^2(3\alpha) - \cos^2(3\alpha) = -(\cos^2(3\alpha) - \sin^2(3\alpha))$.

Используя формулу косинуса двойного угла $\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)$ с $x = 3\alpha$, получаем:

$-(\cos^2(3\alpha) - \sin^2(3\alpha)) = -\cos(2 \cdot 3\alpha) = -\cos(6\alpha)$.

Подставим полученный числитель обратно в дробь:

$\frac{\sin^2(3\alpha) - \cos^2(3\alpha)}{\sin^2(3\alpha)} = \frac{-\cos(6\alpha)}{\sin^2(3\alpha)}$.

Ответ: $\frac{-\cos(6\alpha)}{\sin^2(3\alpha)}$