Номер 27.17, страница 82, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

27.17. Найдите:

1) $cos\beta$, если $sin\beta = 0.6$ и $90^\circ < \beta < 180^\circ$;

2) $sin\beta$, если $cos\beta = -0.2$ и $180^\circ < \beta < 270^\circ$;

3) $tg\beta$, если $cos\beta = -0.4$ и $90^\circ < \beta < 180^\circ$;

4) $ctg\beta$, если $sin\beta = -0.3$ и $270^\circ < \beta < 360^\circ$.

1) Для нахождения $cos\beta$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $sin^2\beta + cos^2\beta = 1$.

Отсюда $cos^2\beta = 1 - sin^2\beta$.

Подставим известное значение $sin\beta = 0,6$:

$cos^2\beta = 1 - (0,6)^2 = 1 - 0,36 = 0,64$.

Следовательно, $cos\beta = \pm\sqrt{0,64} = \pm0,8$.

По условию, угол $\beta$ находится в интервале $90^\circ < \beta < 180^\circ$, что соответствует второй четверти координатной плоскости. Во второй четверти косинус принимает отрицательные значения, поэтому выбираем знак минус.

Ответ: $cos\beta = -0,8$.

2) Для нахождения $sin\beta$ используем основное тригонометрическое тождество: $sin^2\beta + cos^2\beta = 1$.

Отсюда $sin^2\beta = 1 - cos^2\beta$.

Подставим известное значение $cos\beta = -0,2$:

$sin^2\beta = 1 - (-0,2)^2 = 1 - 0,04 = 0,96$.

Следовательно, $sin\beta = \pm\sqrt{0,96} = \pm\sqrt{\frac{96}{100}} = \pm\frac{\sqrt{16 \cdot 6}}{10} = \pm\frac{4\sqrt{6}}{10} = \pm\frac{2\sqrt{6}}{5}$.

По условию, угол $\beta$ находится в интервале $180^\circ < \beta < 270^\circ$, что соответствует третьей четверти. В третьей четверти синус принимает отрицательные значения, поэтому выбираем знак минус.

Ответ: $sin\beta = -\frac{2\sqrt{6}}{5}$.

3) Для нахождения $tg\beta$ воспользуемся определением тангенса: $tg\beta = \frac{sin\beta}{cos\beta}$.

Сначала найдем $sin\beta$ из основного тригонометрического тождества $sin^2\beta + cos^2\beta = 1$.

$sin^2\beta = 1 - cos^2\beta = 1 - (-0,4)^2 = 1 - 0,16 = 0,84$.

$sin\beta = \pm\sqrt{0,84}$.

Угол $\beta$ находится в интервале $90^\circ < \beta < 180^\circ$ (вторая четверть), где синус положителен. Значит, $sin\beta = \sqrt{0,84} = \sqrt{\frac{84}{100}} = \frac{\sqrt{4 \cdot 21}}{10} = \frac{2\sqrt{21}}{10} = \frac{\sqrt{21}}{5}$.

Теперь можем найти тангенс:

$tg\beta = \frac{sin\beta}{cos\beta} = \frac{\frac{\sqrt{21}}{5}}{-0,4} = \frac{\frac{\sqrt{21}}{5}}{-\frac{4}{10}} = \frac{\frac{\sqrt{21}}{5}}{-\frac{2}{5}} = -\frac{\sqrt{21}}{2}$.

Ответ: $tg\beta = -\frac{\sqrt{21}}{2}$.

4) Для нахождения $ctg\beta$ воспользуемся определением котангенса: $ctg\beta = \frac{cos\beta}{sin\beta}$.

Сначала найдем $cos\beta$ из основного тригонометрического тождества $sin^2\beta + cos^2\beta = 1$.

$cos^2\beta = 1 - sin^2\beta = 1 - (-0,3)^2 = 1 - 0,09 = 0,91$.

$cos\beta = \pm\sqrt{0,91}$.

Угол $\beta$ находится в интервале $270^\circ < \beta < 360^\circ$ (четвертая четверть), где косинус положителен. Значит, $cos\beta = \sqrt{0,91} = \frac{\sqrt{91}}{10}$.

Теперь можем найти котангенс:

$ctg\beta = \frac{cos\beta}{sin\beta} = \frac{\frac{\sqrt{91}}{10}}{-0,3} = \frac{\frac{\sqrt{91}}{10}}{-\frac{3}{10}} = -\frac{\sqrt{91}}{3}$.

Ответ: $ctg\beta = -\frac{\sqrt{91}}{3}$.