Номер 27.20, страница 82, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

27.20. Решите систему неравенств:

1)

$\begin{cases} x^2 - 6x - 16 \le 0, \\ |4x^2 - 3| > 1; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} x^2 - x - 2 \ge 0, \\ |2x^2 - 5| < 3. \end{cases}$

1) Решим систему неравенств: $\begin{cases} x^2 - 6x - 16 \le 0 \\ |4x^2 - 3| > 1 \end{cases}$

Сначала решим первое неравенство $x^2 - 6x - 16 \le 0$. Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 6x - 16 = 0$. Дискриминант $D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 36 + 64 = 100$. Корни уравнения: $x_1 = \frac{6 - 10}{2} = -2$ и $x_2 = \frac{6 + 10}{2} = 8$. Графиком функции $y = x^2 - 6x - 16$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Следовательно, неравенство $x^2 - 6x - 16 \le 0$ выполняется при $x$, находящихся между корнями, включая сами корни. Решение первого неравенства: $x \in [-2, 8]$.

Теперь решим второе неравенство $|4x^2 - 3| > 1$. Это неравенство равносильно совокупности двух неравенств:$\left[ \begin{array}{l} 4x^2 - 3 > 1 \\ 4x^2 - 3 < -1 \end{array} \right.$

Решим первое неравенство совокупности: $4x^2 - 3 > 1 \implies 4x^2 > 4 \implies x^2 > 1$. Решением является $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$.

Решим второе неравенство совокупности: $4x^2 - 3 < -1 \implies 4x^2 < 2 \implies x^2 < \frac{1}{2}$. Решением является $x \in (-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})$, или $x \in (-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$.

Объединяя решения совокупности, получаем решение второго неравенства системы: $x \in (-\infty, -1) \cup (-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (1, \infty)$.

Наконец, найдем пересечение решений обоих неравенств. Мы ищем значения $x$, которые удовлетворяют условиям $x \in [-2, 8]$ и $x \in (-\infty, -1) \cup (-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (1, \infty)$.Пересечение множества $[-2, 8]$ с каждым из интервалов второго решения дает:

• $[-2, 8] \cap (-\infty, -1) = [-2, -1)$
• $[-2, 8] \cap (-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}) = (-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$
• $[-2, 8] \cap (1, \infty) = (1, 8]$

Ответ: $x \in [-2, -1) \cup (-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (1, 8]$.

2) Решим систему неравенств: $\begin{cases} x^2 - x - 2 \ge 0 \\ |2x^2 - 5| < 3 \end{cases}$

Решим первое неравенство $x^2 - x - 2 \ge 0$. Корнями уравнения $x^2 - x - 2 = 0$ являются $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$ (по теореме Виета). Так как ветви параболы $y=x^2 - x - 2$ направлены вверх, неравенство $x^2 - x - 2 \ge 0$ выполняется для $x$, находящихся вне интервала между корнями, включая сами корни. Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, -1] \cup [2, \infty)$.

Решим второе неравенство $|2x^2 - 5| < 3$. Это неравенство равносильно двойному неравенству $-3 < 2x^2 - 5 < 3$.

Прибавим 5 ко всем частям неравенства: $-3 + 5 < 2x^2 < 3 + 5$, что дает $2 < 2x^2 < 8$.

Разделим все части на 2: $1 < x^2 < 4$.

Это двойное неравенство эквивалентно системе $\begin{cases} x^2 > 1 \\ x^2 < 4 \end{cases}$.

Решением неравенства $x^2 > 1$ является $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$.

Решением неравенства $x^2 < 4$ является $x \in (-2, 2)$.

Пересечение этих двух множеств дает решение второго неравенства системы: $x \in (-2, -1) \cup (1, 2)$.

Теперь найдем пересечение решений исходной системы: $x \in (-\infty, -1] \cup [2, \infty)$ и $x \in (-2, -1) \cup (1, 2)$.

Пересечение $(-\infty, -1] \cup [2, \infty)$ с $(-2, -1) \cup (1, 2)$ дает в результате только интервал $(-2, -1)$, поскольку интервал $(1, 2)$ не имеет общих точек с множеством $(-\infty, -1] \cup [2, \infty)$.

Ответ: $x \in (-2, -1)$.