Номер 28.4, страница 85, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

28.4. Докажите справедливость равенства:

1) $ \cos75^\circ \cdot \sin345^\circ = -0,25; $

2) $ \sin105^\circ \cdot \sin295^\circ = 0,25. $

1) cos75° ⋅ sin345° = -0,25

Для доказательства или опровержения равенства преобразуем его левую часть, используя тригонометрические формулы.

Сначала упростим каждый множитель с помощью формул приведения:

$sin(345°) = sin(360° - 15°) = -sin(15°)$

$cos(75°) = cos(90° - 15°) = sin(15°)$

Теперь подставим полученные выражения в левую часть исходного равенства:

$cos(75°) \cdot sin(345°) = sin(15°) \cdot (-sin(15°)) = -sin^2(15°)$

Для нахождения значения $sin^2(15°)$ используем формулу понижения степени $sin^2(\alpha) = \frac{1 - cos(2\alpha)}{2}$:

$-sin^2(15°) = -\left(\frac{1 - cos(2 \cdot 15°)}{2}\right) = -\left(\frac{1 - cos(30°)}{2}\right)$

Мы знаем, что значение $cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Подставим его в выражение:

$-\left(\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}\right) = -\left(\frac{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}{2}\right) = -\frac{2 - \sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3} - 2}{4}$

Полученное значение $\frac{\sqrt{3} - 2}{4} \approx \frac{1.732 - 2}{4} = -0.067$, что не равно $-0.25$.

Следовательно, данное в условии равенство не является верным. Вероятнее всего, в условии допущена опечатка. Равенство будет справедливым, если заменить $cos(75°)$ на $sin(75°)$.

Докажем исправленное равенство: $sin(75°) \cdot sin(345°) = -0.25$.

$sin(75°) \cdot sin(345°) = sin(75°) \cdot (-sin(15°))$

Используем формулу приведения $sin(75°) = sin(90° - 15°) = cos(15°)$.

$-sin(15°) \cdot cos(15°)$

Применим формулу синуса двойного угла $sin(2\alpha) = 2sin(\alpha)cos(\alpha)$, из которой следует, что $sin(\alpha)cos(\alpha) = \frac{1}{2}sin(2\alpha)$:

$- \frac{1}{2}sin(2 \cdot 15°) = - \frac{1}{2}sin(30°) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{4} = -0.25$

$ -0.25 = -0.25$. Равенство доказано.

Ответ: Исходное равенство неверно. После исправления опечатки в условии на $sin(75°) \cdot sin(345°) = -0.25$ равенство становится верным, что и было доказано.

2) sin105° ⋅ sin295° = 0,25

Проверим справедливость данного равенства, преобразовав его левую часть. Воспользуемся формулой преобразования произведения синусов в сумму:

$sin(\alpha)sin(\beta) = \frac{1}{2}(cos(\alpha - \beta) - cos(\alpha + \beta))$

$sin(105°)sin(295°) = \frac{1}{2}(cos(105° - 295°) - cos(105° + 295°)) = \frac{1}{2}(cos(-190°) - cos(400°))$

Используя свойство четности косинуса $cos(-α) = cos(α)$ и его периодичность $cos(α + 360°k) = cos(α)$, получаем:

$\frac{1}{2}(cos(190°) - cos(360° + 40°)) = \frac{1}{2}(cos(190°) - cos(40°))$

Так как $cos(190°) = cos(180° + 10°) = -cos(10°)$, то выражение принимает вид:

$\frac{1}{2}(-cos(10°) - cos(40°))$

Поскольку $cos(10°)$ и $cos(40°)$ являются положительными числами, вся скобка отрицательна, а значит, и всё выражение отрицательно. Таким образом, оно не может быть равно положительному числу $0.25$.

Следовательно, равенство в условии неверно из-за опечатки. Равенство будет справедливым, если, например, заменить $sin(295°)$ на $cos(285°)$.

Докажем исправленное равенство: $sin(105°) \cdot cos(285°) = 0.25$.

Преобразуем множители с помощью формул приведения:

$sin(105°) = sin(90° + 15°) = cos(15°)$

$cos(285°) = cos(270° + 15°) = sin(15°)$

Подставим преобразованные значения в левую часть:

$sin(105°) \cdot cos(285°) = cos(15°) \cdot sin(15°)$

Используя формулу синуса двойного угла $sin(\alpha)cos(\alpha) = \frac{1}{2}sin(2\alpha)$:

$\frac{1}{2}sin(2 \cdot 15°) = \frac{1}{2}sin(30°) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} = 0.25$

$0.25 = 0.25$. Равенство доказано.

Ответ: Исходное равенство неверно. После исправления опечатки в условии на $sin(105°) \cdot cos(285°) = 0.25$ равенство становится верным, что и было доказано.