Номер 28.9, страница 86, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

28.9. Запишите в виде суммы выражение:

1) $8\cos\beta \cdot \cos2\beta \cdot \cos4\beta$;

2) $\cos3\beta \cdot \cos5\beta \cdot \cos8\beta$;

3) $4\sin\beta \cdot \sin4\beta \cdot \cos5\beta$;

4) $2\cos\alpha \cdot \sin2\alpha \cdot \cos6\alpha$;

5) $\sin\alpha \cdot \sin3\alpha \cdot \sin6\alpha$;

6) $16\sin\alpha \cdot \cos2\alpha \cdot \sin10\alpha$.

1) Для преобразования произведения $8\cos\beta \cdot \cos2\beta \cdot \cos4\beta$ в сумму воспользуемся формулой произведения косинусов $2\cos A \cos B = \cos(A - B) + \cos(A + B)$.
Сгруппируем множители: $8\cos\beta \cos2\beta \cos4\beta = 4\cos4\beta \cdot (2\cos\beta \cos2\beta)$.
Применим формулу к выражению в скобках:
$2\cos\beta \cos2\beta = \cos(2\beta - \beta) + \cos(2\beta + \beta) = \cos\beta + \cos3\beta$.
Подставим результат обратно в исходное выражение:
$4\cos4\beta(\cos\beta + \cos3\beta) = 4\cos4\beta\cos\beta + 4\cos4\beta\cos3\beta$.
Теперь применим формулу произведения косинусов к каждому слагаемому:
$4\cos4\beta\cos\beta = 2 \cdot (2\cos4\beta\cos\beta) = 2(\cos(4\beta - \beta) + \cos(4\beta + \beta)) = 2(\cos3\beta + \cos5\beta)$.
$4\cos4\beta\cos3\beta = 2 \cdot (2\cos4\beta\cos3\beta) = 2(\cos(4\beta - 3\beta) + \cos(4\beta + 3\beta)) = 2(\cos\beta + \cos7\beta)$.
Сложим полученные выражения:
$2(\cos3\beta + \cos5\beta) + 2(\cos\beta + \cos7\beta) = 2\cos3\beta + 2\cos5\beta + 2\cos\beta + 2\cos7\beta$.
Ответ: $2\cos\beta + 2\cos3\beta + 2\cos5\beta + 2\cos7\beta$.

2) Преобразуем выражение $\cos3\beta \cdot \cos5\beta \cdot \cos8\beta$ в сумму.
Сначала сгруппируем первые два множителя и применим формулу $\cos A \cos B = \frac{1}{2}(\cos(A-B) + \cos(A+B))$:
$\cos3\beta \cos5\beta = \frac{1}{2}(\cos(5\beta-3\beta) + \cos(5\beta+3\beta)) = \frac{1}{2}(\cos2\beta + \cos8\beta)$.
Подставим это в исходное выражение:
$\frac{1}{2}(\cos2\beta + \cos8\beta)\cos8\beta = \frac{1}{2}\cos2\beta\cos8\beta + \frac{1}{2}\cos^2 8\beta$.
Преобразуем каждое слагаемое. Для первого используем формулу произведения косинусов, для второго — формулу понижения степени $\cos^2 A = \frac{1+\cos2A}{2}$.
$\frac{1}{2}\cos2\beta\cos8\beta = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}(\cos(8\beta-2\beta) + \cos(8\beta+2\beta)) = \frac{1}{4}(\cos6\beta + \cos10\beta)$.
$\frac{1}{2}\cos^2 8\beta = \frac{1}{2} \cdot \frac{1+\cos(2 \cdot 8\beta)}{2} = \frac{1}{4}(1 + \cos16\beta)$.
Складывая полученные части, получаем:
$\frac{1}{4}(\cos6\beta + \cos10\beta) + \frac{1}{4}(1 + \cos16\beta) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4}\cos6\beta + \frac{1}{4}\cos10\beta + \frac{1}{4}\cos16\beta$.
Ответ: $\frac{1}{4} + \frac{1}{4}\cos6\beta + \frac{1}{4}\cos10\beta + \frac{1}{4}\cos16\beta$.

3) Для преобразования выражения $4\sin\beta \cdot \sin4\beta \cdot \cos5\beta$ используем формулу произведения синусов $2\sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B)$.
$4\sin\beta \sin4\beta \cos5\beta = 2 \cdot (2\sin\beta \sin4\beta) \cos5\beta$.
$2\sin\beta \sin4\beta = \cos(4\beta-\beta) - \cos(4\beta+\beta) = \cos3\beta - \cos5\beta$.
Подставляем в выражение:
$2(\cos3\beta - \cos5\beta)\cos5\beta = 2\cos3\beta\cos5\beta - 2\cos^2 5\beta$.
Преобразуем каждое слагаемое, используя формулы $2\cos A \cos B = \cos(A-B) + \cos(A+B)$ и $2\cos^2 A = 1+\cos2A$:
$2\cos3\beta\cos5\beta = \cos(5\beta-3\beta) + \cos(5\beta+3\beta) = \cos2\beta + \cos8\beta$.
$2\cos^2 5\beta = 1 + \cos(2 \cdot 5\beta) = 1 + \cos10\beta$.
Вычитая второе из первого, получаем:
$(\cos2\beta + \cos8\beta) - (1 + \cos10\beta) = \cos2\beta + \cos8\beta - 1 - \cos10\beta$.
Ответ: $-1 + \cos2\beta + \cos8\beta - \cos10\beta$.

4) Преобразуем $2\cos\alpha \cdot \sin2\alpha \cdot \cos6\alpha$.
Сгруппируем $2\cos\alpha \sin2\alpha$ и применим формулу $2\sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$.
$2\sin2\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha+\alpha) + \sin(2\alpha-\alpha) = \sin3\alpha + \sin\alpha$.
Подставим в выражение:
$(\sin3\alpha + \sin\alpha)\cos6\alpha = \sin3\alpha\cos6\alpha + \sin\alpha\cos6\alpha$.
К каждому слагаемому применим формулу $\sin A \cos B = \frac{1}{2}(\sin(A+B) + \sin(A-B))$:
$\sin3\alpha\cos6\alpha = \frac{1}{2}(\sin(3\alpha+6\alpha) + \sin(3\alpha-6\alpha)) = \frac{1}{2}(\sin9\alpha - \sin3\alpha)$.
$\sin\alpha\cos6\alpha = \frac{1}{2}(\sin(\alpha+6\alpha) + \sin(\alpha-6\alpha)) = \frac{1}{2}(\sin7\alpha - \sin5\alpha)$.
Сложим результаты:
$\frac{1}{2}(\sin9\alpha - \sin3\alpha) + \frac{1}{2}(\sin7\alpha - \sin5\alpha) = \frac{1}{2}(\sin9\alpha + \sin7\alpha - \sin5\alpha - \sin3\alpha)$.
Ответ: $-\frac{1}{2}\sin3\alpha - \frac{1}{2}\sin5\alpha + \frac{1}{2}\sin7\alpha + \frac{1}{2}\sin9\alpha$.

5) Преобразуем $\sin\alpha \cdot \sin3\alpha \cdot \sin6\alpha$ в сумму.
Используем формулу $\sin A \sin B = \frac{1}{2}(\cos(A-B) - \cos(A+B))$ для первых двух множителей:
$\sin\alpha \sin3\alpha = \frac{1}{2}(\cos(3\alpha-\alpha) - \cos(3\alpha+\alpha)) = \frac{1}{2}(\cos2\alpha - \cos4\alpha)$.
Подставим в выражение:
$\frac{1}{2}(\cos2\alpha - \cos4\alpha)\sin6\alpha = \frac{1}{2}\cos2\alpha\sin6\alpha - \frac{1}{2}\cos4\alpha\sin6\alpha$.
К каждому слагаемому применим формулу $\cos A \sin B = \frac{1}{2}(\sin(A+B) - \sin(A-B))$:
$\frac{1}{2}\cos2\alpha\sin6\alpha = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}(\sin(2\alpha+6\alpha) - \sin(2\alpha-6\alpha)) = \frac{1}{4}(\sin8\alpha + \sin4\alpha)$.
$\frac{1}{2}\cos4\alpha\sin6\alpha = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}(\sin(4\alpha+6\alpha) - \sin(4\alpha-6\alpha)) = \frac{1}{4}(\sin10\alpha + \sin2\alpha)$.
Вычтем второе из первого:
$\frac{1}{4}(\sin8\alpha + \sin4\alpha) - \frac{1}{4}(\sin10\alpha + \sin2\alpha) = \frac{1}{4}(\sin8\alpha + \sin4\alpha - \sin10\alpha - \sin2\alpha)$.
Ответ: $-\frac{1}{4}\sin2\alpha + \frac{1}{4}\sin4\alpha + \frac{1}{4}\sin8\alpha - \frac{1}{4}\sin10\alpha$.

6) Преобразуем $16\sin\alpha \cdot \cos2\alpha \cdot \sin10\alpha$.
Сгруппируем синусы: $16(\sin\alpha \sin10\alpha)\cos2\alpha$.
Применим формулу $\sin A \sin B = \frac{1}{2}(\cos(A-B) - \cos(A+B))$:
$\sin\alpha \sin10\alpha = \frac{1}{2}(\cos(10\alpha-\alpha) - \cos(10\alpha+\alpha)) = \frac{1}{2}(\cos9\alpha - \cos11\alpha)$.
Подставим в выражение:
$16 \cdot \frac{1}{2}(\cos9\alpha - \cos11\alpha)\cos2\alpha = 8(\cos9\alpha - \cos11\alpha)\cos2\alpha = 8\cos9\alpha\cos2\alpha - 8\cos11\alpha\cos2\alpha$.
Применим формулу $\cos A \cos B = \frac{1}{2}(\cos(A-B) + \cos(A+B))$:
$8\cos9\alpha\cos2\alpha = 4(\cos(9\alpha-2\alpha) + \cos(9\alpha+2\alpha)) = 4(\cos7\alpha + \cos11\alpha)$.
$8\cos11\alpha\cos2\alpha = 4(\cos(11\alpha-2\alpha) + \cos(11\alpha+2\alpha)) = 4(\cos9\alpha + \cos13\alpha)$.
Вычтем второе из первого:
$4(\cos7\alpha + \cos11\alpha) - 4(\cos9\alpha + \cos13\alpha) = 4\cos7\alpha + 4\cos11\alpha - 4\cos9\alpha - 4\cos13\alpha$.
Ответ: $4\cos7\alpha - 4\cos9\alpha + 4\cos11\alpha - 4\cos13\alpha$.