Номер 28.10, страница 86, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

28.10. Найдите значение выражения:

1) $ \cos{8a} + \cos{6a} + 2 \sin{5a} \cdot \sin{3a} $, если $ \cos{a} = -\frac{1}{\sqrt{3}} $;

2) $ \cos{12a} - \cos{6a} + 2 \cos{5a} \cdot \cos{7a} $, если $ \cos{a} = -\frac{1}{\sqrt{5}} $;

3) $ \sin{2a}\cos{5a} - \sin{a}\cos{6a} $, если $ \sin{a} = a $;

4) $ \cos{7a}\cos{4a} - \cos{8a}\cos{3a} $, если $ \cos{a} = a $.

1) Найдем значение выражения $\cos(8a) + \cos(6a) + 2 \sin(5a) \sin(3a)$, если $\cos(a) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
Для начала упростим выражение. Воспользуемся формулой произведения синусов: $2 \sin(x) \sin(y) = \cos(x-y) - \cos(x+y)$.
Применим ее к слагаемому $2 \sin(5a) \sin(3a)$:
$2 \sin(5a) \sin(3a) = \cos(5a - 3a) - \cos(5a + 3a) = \cos(2a) - \cos(8a)$.
Подставим это в исходное выражение:
$\cos(8a) + \cos(6a) + (\cos(2a) - \cos(8a)) = \cos(8a) + \cos(6a) + \cos(2a) - \cos(8a) = \cos(6a) + \cos(2a)$.
Теперь найдем значения $\cos(2a)$ и $\cos(6a)$, зная, что $\cos(a) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
Используем формулу косинуса двойного угла $\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1$:
$\cos(2a) = 2\cos^2(a) - 1 = 2\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 - 1 = 2\left(\frac{1}{3}\right) - 1 = \frac{2}{3} - 1 = -\frac{1}{3}$.
Для $\cos(6a)$ используем формулу косинуса тройного угла $\cos(3x) = 4\cos^3(x) - 3\cos(x)$, где $x=2a$:
$\cos(6a) = \cos(3 \cdot 2a) = 4\cos^3(2a) - 3\cos(2a) = 4\left(-\frac{1}{3}\right)^3 - 3\left(-\frac{1}{3}\right) = 4\left(-\frac{1}{27}\right) + 1 = -\frac{4}{27} + 1 = \frac{23}{27}$.
Наконец, найдем значение выражения:
$\cos(6a) + \cos(2a) = \frac{23}{27} + \left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{23}{27} - \frac{9}{27} = \frac{14}{27}$.
Ответ: $\frac{14}{27}$.

2) Найдем значение выражения $\cos(12a) - \cos(6a) + 2 \cos(5a) \cos(7a)$, если $\cos(a) = -\frac{1}{\sqrt{5}}$.
Упростим выражение с помощью формулы произведения косинусов: $2 \cos(x) \cos(y) = \cos(x-y) + \cos(x+y)$.
Применим ее к слагаемому $2 \cos(5a) \cos(7a)$:
$2 \cos(7a) \cos(5a) = \cos(7a - 5a) + \cos(7a + 5a) = \cos(2a) + \cos(12a)$.
Подставим в исходное выражение:
$\cos(12a) - \cos(6a) + (\cos(2a) + \cos(12a)) = 2\cos(12a) - \cos(6a) + \cos(2a)$.
Теперь последовательно вычислим значения косинусов, зная, что $\cos(a) = -\frac{1}{\sqrt{5}}$.
$\cos(2a) = 2\cos^2(a) - 1 = 2\left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^2 - 1 = 2\left(\frac{1}{5}\right) - 1 = -\frac{3}{5}$.
$\cos(6a) = \cos(3 \cdot 2a) = 4\cos^3(2a) - 3\cos(2a) = 4\left(-\frac{3}{5}\right)^3 - 3\left(-\frac{3}{5}\right) = 4\left(-\frac{27}{125}\right) + \frac{9}{5} = -\frac{108}{125} + \frac{225}{125} = \frac{117}{125}$.
$\cos(12a) = \cos(2 \cdot 6a) = 2\cos^2(6a) - 1 = 2\left(\frac{117}{125}\right)^2 - 1 = 2\left(\frac{13689}{15625}\right) - 1 = \frac{27378}{15625} - \frac{15625}{15625} = \frac{11753}{15625}$.
Подставим найденные значения в упрощенное выражение:
$2\cos(12a) - \cos(6a) + \cos(2a) = 2\left(\frac{11753}{15625}\right) - \frac{117}{125} - \frac{3}{5} = \frac{23506}{15625} - \frac{117 \cdot 125}{125 \cdot 125} - \frac{3 \cdot 3125}{5 \cdot 3125} = \frac{23506 - 14625 - 9375}{15625} = \frac{23506 - 24000}{15625} = -\frac{494}{15625}$.
Ответ: $-\frac{494}{15625}$.

3) Найдем значение выражения $\sin(2a)\cos(5a) - \sin(a)\cos(6a)$, если $\sin(a) = a$.
Преобразуем выражение. Используем формулу синуса двойного угла $\sin(2a) = 2\sin(a)\cos(a)$ и формулу косинуса суммы $\cos(6a) = \cos(5a+a) = \cos(5a)\cos(a) - \sin(5a)\sin(a)$.
$\sin(2a)\cos(5a) - \sin(a)\cos(6a) = (2\sin(a)\cos(a))\cos(5a) - \sin(a)(\cos(5a)\cos(a) - \sin(5a)\sin(a)) = $
$= 2\sin(a)\cos(a)\cos(5a) - \sin(a)\cos(5a)\cos(a) + \sin(a)\sin(5a)\sin(a) = $
$= \sin(a)\cos(a)\cos(5a) + \sin^2(a)\sin(5a) = \sin(a)(\cos(a)\cos(5a) + \sin(a)\sin(5a))$.
В скобках получилась формула косинуса разности $\cos(x-y) = \cos(x)\cos(y) + \sin(x)\sin(y)$.
$\sin(a)\cos(5a-a) = \sin(a)\cos(4a)$.
Теперь выразим $\cos(4a)$ через $\sin(a) = a$.
$\cos(2a) = 1 - 2\sin^2(a) = 1 - 2a^2$.
$\cos(4a) = \cos(2 \cdot 2a) = 2\cos^2(2a) - 1 = 2(1-2a^2)^2 - 1 = 2(1 - 4a^2 + 4a^4) - 1 = 2 - 8a^2 + 8a^4 - 1 = 8a^4 - 8a^2 + 1$.
Подставим в итоговое выражение:
$\sin(a)\cos(4a) = a(8a^4 - 8a^2 + 1) = 8a^5 - 8a^3 + a$.
Ответ: $8a^5 - 8a^3 + a$.

4) Найдем значение выражения $\cos(7a)\cos(4a) - \cos(8a)\cos(3a)$, если $\cos(a) = a$.
Воспользуемся формулой произведения косинусов: $\cos(x)\cos(y) = \frac{1}{2}(\cos(x+y) + \cos(x-y))$.
$\cos(7a)\cos(4a) = \frac{1}{2}(\cos(11a) + \cos(3a))$.
$\cos(8a)\cos(3a) = \frac{1}{2}(\cos(11a) + \cos(5a))$.
Подставим в исходное выражение:
$\frac{1}{2}(\cos(11a) + \cos(3a)) - \frac{1}{2}(\cos(11a) + \cos(5a)) = \frac{1}{2}(\cos(11a) + \cos(3a) - \cos(11a) - \cos(5a)) = \frac{1}{2}(\cos(3a) - \cos(5a))$.
Теперь используем формулу разности косинусов: $\cos(x) - \cos(y) = -2\sin\left(\frac{x+y}{2}\right)\sin\left(\frac{x-y}{2}\right)$.
$\frac{1}{2}\left(-2\sin\left(\frac{3a+5a}{2}\right)\sin\left(\frac{3a-5a}{2}\right)\right) = -\sin(4a)\sin(-a) = \sin(4a)\sin(a)$.
Выразим полученное выражение через $\cos(a) = a$.
$\sin(4a) = 2\sin(2a)\cos(2a) = 2(2\sin(a)\cos(a))\cos(2a) = 4\sin(a)\cos(a)\cos(2a)$.
Тогда $\sin(4a)\sin(a) = 4\sin^2(a)\cos(a)\cos(2a)$.
Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2(a) = 1 - \cos^2(a) = 1 - a^2$ и формулу косинуса двойного угла $\cos(2a) = 2\cos^2(a) - 1 = 2a^2 - 1$.
Подставляем:
$4(1-a^2)(a)(2a^2 - 1) = 4a(2a^2 - 1 - 2a^4 + a^2) = 4a(-2a^4 + 3a^2 - 1) = -8a^5 + 12a^3 - 4a$.
Ответ: $-8a^5 + 12a^3 - 4a$.