Номер 28.15, страница 87, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

28.15. Упростите выражение:

1) $ \sin5x \cdot \sin4x + \sin4x \cdot \sin3x - \sin2x \cdot \sinx - 2\sin3x \cdot \sin5x \cdot \cosx; $

2) $ 1 + \tan3x - \tan(60^{\circ} + x) \cdot \tanx. $

1) Для упрощения данного выражения воспользуемся тригонометрическими формулами и группировкой слагаемых.

Исходное выражение:

$ \sin5x \cdot \sin4x + \sin4x \cdot \sin3x - \sin2x \cdot \sin x - 2\sin3x \cdot \sin5x \cdot \cos x $

Сначала преобразуем последнее слагаемое, используя формулу произведения синуса на косинус $2\sin\alpha\cos\beta = \sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)$.

$ -2\sin3x \cdot \sin5x \cdot \cos x = -\sin5x \cdot (2\sin3x \cos x) = -\sin5x \cdot (\sin(3x+x) + \sin(3x-x)) = -\sin5x(\sin4x + \sin2x) $

Раскроем скобки:

$ -\sin5x \cdot \sin4x - \sin5x \cdot \sin2x $

Теперь подставим это преобразованное слагаемое обратно в исходное выражение:

$ \sin5x \cdot \sin4x + \sin4x \cdot \sin3x - \sin2x \cdot \sin x - \sin5x \cdot \sin4x - \sin5x \cdot \sin2x $

Сократим подобные члены ($\sin5x \cdot \sin4x$ и $-\sin5x \cdot \sin4x$):

$ \sin4x \cdot \sin3x - \sin2x \cdot \sin x - \sin5x \cdot \sin2x $

Вынесем общий множитель $-\sin2x$ из последних двух слагаемых:

$ \sin4x \cdot \sin3x - \sin2x(\sin x + \sin5x) $

Применим формулу суммы синусов $\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$ к выражению в скобках:

$ \sin x + \sin5x = 2\sin\frac{x+5x}{2}\cos\frac{5x-x}{2} = 2\sin3x\cos2x $

Подставим результат обратно в выражение:

$ \sin4x \cdot \sin3x - \sin2x(2\sin3x\cos2x) = \sin4x \cdot \sin3x - 2\sin2x\cos2x\sin3x $

Вынесем общий множитель $\sin3x$:

$ \sin3x(\sin4x - 2\sin2x\cos2x) $

Используем формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$. Для $\alpha=2x$ получаем $\sin4x = 2\sin2x\cos2x$.

Подставим это в скобки:

$ \sin3x(2\sin2x\cos2x - 2\sin2x\cos2x) = \sin3x \cdot 0 = 0 $

Ответ: 0

2) Для упрощения данного выражения воспользуемся тождеством для тангенса тройного угла.

Исходное выражение:

$ 1 + \tg3x - \tg(60° + x) \cdot \tg x $

Известно тождество, связывающее тангенс тройного угла с тангенсами других углов:

$ \tg(3x) = \tg(x) \cdot \tg(60° - x) \cdot \tg(60° + x) $

При условии, что $\tg(60° - x) \neq 0$, мы можем выразить произведение $\tg(x) \cdot \tg(60° + x)$ из этого тождества:

$ \tg(x) \cdot \tg(60° + x) = \frac{\tg(3x)}{\tg(60° - x)} $

Подставим это выражение в исходное:

$ 1 + \tg3x - \frac{\tg(3x)}{\tg(60° - x)} $

Вынесем $\tg3x$ за скобки:

$ 1 + \tg3x \left(1 - \frac{1}{\tg(60° - x)}\right) $

Так как $\frac{1}{\tg\alpha} = \ctg\alpha$, заменим дробь на котангенс:

$ 1 + \tg3x(1 - \ctg(60° - x)) $

Это является упрощенной формой исходного выражения.

Ответ: $1 + \tg3x(1 - \ctg(60° - x))$