Номер 28.16, страница 87, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

28.16. Докажите тождество:

1) $\frac{\sin 5\alpha - 2\sin 3\alpha \cos 3\alpha}{1 - \cos 5\alpha - 2\sin^2 3\alpha} = \operatorname{ctg} 5,5\alpha;$

2) $\frac{2\cos^2 2\beta + \cos 5\beta - 1}{\sin 5\beta + 2\cos 2\beta \sin 2\beta} = \operatorname{ctg} 4,5\beta;$

3) $\frac{\sin 4\alpha + 2\sin 2\alpha}{2(\cos \alpha + \cos 3\alpha)} = \cos \alpha \cdot \operatorname{tg} 2\alpha;$

4) $\frac{2\cos \beta + \cos 3\beta + \cos 5\beta}{\cos 3\beta + \sin \beta \sin 2\beta} = 4\cos 2\beta.$

1) Для доказательства тождества $ \frac{\sin(5\alpha) - 2\sin(3\alpha)\cos(3\alpha)}{1 - \cos(5\alpha) - 2\sin^2(3\alpha)} = \text{ctg}(5.5\alpha) $ преобразуем его левую часть.
Сначала преобразуем числитель, используя формулу синуса двойного угла $ \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) $.
$ \sin(5\alpha) - 2\sin(3\alpha)\cos(3\alpha) = \sin(5\alpha) - \sin(2 \cdot 3\alpha) = \sin(5\alpha) - \sin(6\alpha) $.
Далее применим формулу разности синусов $ \sin A - \sin B = 2\cos(\frac{A+B}{2})\sin(\frac{A-B}{2}) $:
$ \sin(5\alpha) - \sin(6\alpha) = 2\cos(\frac{5\alpha+6\alpha}{2})\sin(\frac{5\alpha-6\alpha}{2}) = 2\cos(\frac{11\alpha}{2})\sin(\frac{-\alpha}{2}) = -2\cos(\frac{11\alpha}{2})\sin(\frac{\alpha}{2}) $.
Теперь преобразуем знаменатель. Используем формулу косинуса двойного угла $ \cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x) $, из которой следует $ 2\sin^2(x) = 1 - \cos(2x) $:
$ 1 - \cos(5\alpha) - 2\sin^2(3\alpha) = 1 - \cos(5\alpha) - (1 - \cos(2 \cdot 3\alpha)) = 1 - \cos(5\alpha) - 1 + \cos(6\alpha) = \cos(6\alpha) - \cos(5\alpha) $.
Применим формулу разности косинусов $ \cos A - \cos B = -2\sin(\frac{A+B}{2})\sin(\frac{A-B}{2}) $:
$ \cos(6\alpha) - \cos(5\alpha) = -2\sin(\frac{6\alpha+5\alpha}{2})\sin(\frac{6\alpha-5\alpha}{2}) = -2\sin(\frac{11\alpha}{2})\sin(\frac{\alpha}{2}) $.
Подставим преобразованные числитель и знаменатель в исходную дробь:
$ \frac{-2\cos(\frac{11\alpha}{2})\sin(\frac{\alpha}{2})}{-2\sin(\frac{11\alpha}{2})\sin(\frac{\alpha}{2})} = \frac{\cos(\frac{11\alpha}{2})}{\sin(\frac{11\alpha}{2})} = \text{ctg}(\frac{11\alpha}{2}) = \text{ctg}(5.5\alpha) $.
Таким образом, левая часть тождества равна правой, что и требовалось доказать.
Ответ: Тождество доказано.

2) Для доказательства тождества $ \frac{2\cos^2(2\beta) + \cos(5\beta) - 1}{\sin(5\beta) + 2\cos(2\beta)\sin(2\beta)} = \text{ctg}(4.5\beta) $ преобразуем его левую часть.
Преобразуем числитель. Перегруппируем слагаемые и применим формулу косинуса двойного угла $ \cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1 $:
$ (2\cos^2(2\beta) - 1) + \cos(5\beta) = \cos(2 \cdot 2\beta) + \cos(5\beta) = \cos(4\beta) + \cos(5\beta) $.
Применим формулу суммы косинусов $ \cos A + \cos B = 2\cos(\frac{A+B}{2})\cos(\frac{A-B}{2}) $:
$ \cos(4\beta) + \cos(5\beta) = 2\cos(\frac{4\beta+5\beta}{2})\cos(\frac{4\beta-5\beta}{2}) = 2\cos(\frac{9\beta}{2})\cos(\frac{-\beta}{2}) = 2\cos(\frac{9\beta}{2})\cos(\frac{\beta}{2}) $.
Преобразуем знаменатель. Используем формулу синуса двойного угла $ \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) $:
$ \sin(5\beta) + 2\sin(2\beta)\cos(2\beta) = \sin(5\beta) + \sin(2 \cdot 2\beta) = \sin(5\beta) + \sin(4\beta) $.
Применим формулу суммы синусов $ \sin A + \sin B = 2\sin(\frac{A+B}{2})\cos(\frac{A-B}{2}) $:
$ \sin(5\beta) + \sin(4\beta) = 2\sin(\frac{5\beta+4\beta}{2})\cos(\frac{5\beta-4\beta}{2}) = 2\sin(\frac{9\beta}{2})\cos(\frac{\beta}{2}) $.
Подставим преобразованные числитель и знаменатель в исходную дробь:
$ \frac{2\cos(\frac{9\beta}{2})\cos(\frac{\beta}{2})}{2\sin(\frac{9\beta}{2})\cos(\frac{\beta}{2})} = \frac{\cos(\frac{9\beta}{2})}{\sin(\frac{9\beta}{2})} = \text{ctg}(\frac{9\beta}{2}) = \text{ctg}(4.5\beta) $.
Левая часть тождества равна правой, что и требовалось доказать.
Ответ: Тождество доказано.

3) Для доказательства тождества $ \frac{\sin(4\alpha) + 2\sin(2\alpha)}{2(\cos(\alpha) + \cos(3\alpha))} = \cos(\alpha) \cdot \text{tg}(2\alpha) $ преобразуем его левую часть.
Преобразуем числитель, вынеся общий множитель и используя формулу синуса двойного угла $ \sin(4\alpha) = 2\sin(2\alpha)\cos(2\alpha) $:
$ \sin(4\alpha) + 2\sin(2\alpha) = 2\sin(2\alpha)\cos(2\alpha) + 2\sin(2\alpha) = 2\sin(2\alpha)(\cos(2\alpha) + 1) $.
Используем формулу $ 1 + \cos(2x) = 2\cos^2(x) $ для выражения в скобках:
$ 2\sin(2\alpha)(2\cos^2(\alpha)) = 4\sin(2\alpha)\cos^2(\alpha) $.
Преобразуем знаменатель, используя формулу суммы косинусов $ \cos A + \cos B = 2\cos(\frac{A+B}{2})\cos(\frac{A-B}{2}) $:
$ 2(\cos(\alpha) + \cos(3\alpha)) = 2 \cdot [2\cos(\frac{\alpha+3\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha-3\alpha}{2})] = 4\cos(2\alpha)\cos(-\alpha) = 4\cos(2\alpha)\cos(\alpha) $.
Подставим преобразованные числитель и знаменатель в левую часть:
$ \frac{4\sin(2\alpha)\cos^2(\alpha)}{4\cos(2\alpha)\cos(\alpha)} = \frac{\sin(2\alpha)\cos(\alpha)}{\cos(2\alpha)} = \frac{\sin(2\alpha)}{\cos(2\alpha)} \cdot \cos(\alpha) = \text{tg}(2\alpha)\cos(\alpha) $.
Левая часть тождества равна правой, что и требовалось доказать.
Ответ: Тождество доказано.

4) Для доказательства тождества $ \frac{2\cos(\beta) + \cos(3\beta) + \cos(5\beta)}{\cos(3\beta) + \sin(\beta)\sin(2\beta)} = 4\cos(2\beta) $ преобразуем его левую часть.
Преобразуем числитель. Сгруппируем $ \cos(3\beta) $ и $ \cos(5\beta) $ и применим формулу суммы косинусов $ \cos A + \cos B = 2\cos(\frac{A+B}{2})\cos(\frac{A-B}{2}) $:
$ \cos(3\beta) + \cos(5\beta) = 2\cos(\frac{3\beta+5\beta}{2})\cos(\frac{3\beta-5\beta}{2}) = 2\cos(4\beta)\cos(-\beta) = 2\cos(4\beta)\cos(\beta) $.
Тогда числитель равен:$ 2\cos(\beta) + 2\cos(4\beta)\cos(\beta) = 2\cos(\beta)(1 + \cos(4\beta)) $.
Используя формулу $ 1 + \cos(2x) = 2\cos^2(x) $, получаем $ 1 + \cos(4\beta) = 2\cos^2(2\beta) $.
Числитель окончательно равен $ 2\cos(\beta) \cdot (2\cos^2(2\beta)) = 4\cos(\beta)\cos^2(2\beta) $.
Преобразуем знаменатель. Используем формулу косинуса суммы $ \cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B $:
$ \cos(3\beta) = \cos(2\beta + \beta) = \cos(2\beta)\cos(\beta) - \sin(2\beta)\sin(\beta) $.
Тогда знаменатель равен:
$ (\cos(2\beta)\cos(\beta) - \sin(2\beta)\sin(\beta)) + \sin(\beta)\sin(2\beta) = \cos(2\beta)\cos(\beta) $.
Подставим преобразованные числитель и знаменатель в исходную дробь:
$ \frac{4\cos(\beta)\cos^2(2\beta)}{\cos(2\beta)\cos(\beta)} = 4\cos(2\beta) $.
Левая часть тождества равна правой, что и требовалось доказать.
Ответ: Тождество доказано.