Номер 28.2, страница 85, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

28.2. Представьте в виде суммы или разности выражение:

1) $2\sin27^\circ \cos9^\circ;$

2) $-2\sin25^\circ \sin15^\circ;$

3) $2\sin a \cos3a;$

4) $2\cos 2a \cos a;$

5) $\cos(x + 1) \cos(x - 1);$

6) $2\sin(a + b) \cos(a - b);$

7) $\sin(m + n) \sin(m - n);$

8) $\sin(2x + 3) \sin(x - 3);$

9) $\sin(1 - x) \cdot \cos(1 - 2x).$

Для решения данных задач используются формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму или разность:
$2\sin\alpha\cos\beta = \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)$
$2\cos\alpha\cos\beta = \cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)$
$2\sin\alpha\sin\beta = \cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)$
$-2\sin\alpha\sin\beta = \cos(\alpha + \beta) - \cos(\alpha - \beta)$

1) $2\sin27^\circ\cos9^\circ$

Применим формулу $2\sin\alpha\cos\beta = \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)$, где $\alpha = 27^\circ$ и $\beta = 9^\circ$.

$2\sin27^\circ\cos9^\circ = \sin(27^\circ + 9^\circ) + \sin(27^\circ - 9^\circ) = \sin36^\circ + \sin18^\circ$.

Ответ: $\sin36^\circ + \sin18^\circ$

2) $-2\sin25^\circ\sin15^\circ$

Применим формулу $-2\sin\alpha\sin\beta = \cos(\alpha + \beta) - \cos(\alpha - \beta)$, где $\alpha = 25^\circ$ и $\beta = 15^\circ$.

$-2\sin25^\circ\sin15^\circ = \cos(25^\circ + 15^\circ) - \cos(25^\circ - 15^\circ) = \cos40^\circ - \cos10^\circ$.

Ответ: $\cos40^\circ - \cos10^\circ$

3) $2\sin a\cos3a$

Применим формулу $2\sin\alpha\cos\beta = \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)$, где $\alpha = a$ и $\beta = 3a$.

$2\sin a\cos3a = \sin(a + 3a) + \sin(a - 3a) = \sin(4a) + \sin(-2a)$.

Так как $\sin(-x) = -\sin(x)$, получаем: $\sin(4a) - \sin(2a)$.

Ответ: $\sin(4a) - \sin(2a)$

4) $2\cos 2a\cos a$

Применим формулу $2\cos\alpha\cos\beta = \cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)$, где $\alpha = 2a$ и $\beta = a$.

$2\cos 2a\cos a = \cos(2a + a) + \cos(2a - a) = \cos(3a) + \cos(a)$.

Ответ: $\cos(3a) + \cos(a)$

5) $\cos(x + 1)\cos(x - 1)$

Используем формулу $\cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta))$, где $\alpha = x + 1$ и $\beta = x - 1$.

$\cos(x + 1)\cos(x - 1) = \frac{1}{2}(\cos((x+1) + (x-1)) + \cos((x+1) - (x-1))) = \frac{1}{2}(\cos(2x) + \cos(2))$.

Ответ: $\frac{1}{2}(\cos(2x) + \cos(2))$

6) $2\sin(a + b)\cos(a - b)$

Применим формулу $2\sin\alpha\cos\beta = \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)$, где $\alpha = a + b$ и $\beta = a - b$.

$2\sin(a + b)\cos(a - b) = \sin((a+b) + (a-b)) + \sin((a+b) - (a-b)) = \sin(2a) + \sin(2b)$.

Ответ: $\sin(2a) + \sin(2b)$

7) $\sin(m + n)\sin(m - n)$

Используем формулу $\sin\alpha\sin\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta))$, где $\alpha = m + n$ и $\beta = m - n$.

$\sin(m + n)\sin(m - n) = \frac{1}{2}(\cos((m+n) - (m-n)) - \cos((m+n) + (m-n))) = \frac{1}{2}(\cos(2n) - \cos(2m))$.

Ответ: $\frac{1}{2}(\cos(2n) - \cos(2m))$

8) $\sin(2x + 3)\sin(x - 3)$

Используем формулу $\sin\alpha\sin\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta))$, где $\alpha = 2x + 3$ и $\beta = x - 3$.

$\sin(2x + 3)\sin(x - 3) = \frac{1}{2}(\cos((2x+3) - (x-3)) - \cos((2x+3) + (x-3))) = \frac{1}{2}(\cos(x + 6) - \cos(3x))$.

Ответ: $\frac{1}{2}(\cos(x + 6) - \cos(3x))$

9) $\sin(1 - x) \cdot \cos(1 - 2x)$

Используем формулу $\sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta))$, где $\alpha = 1 - x$ и $\beta = 1 - 2x$.

$\sin(1 - x)\cos(1 - 2x) = \frac{1}{2}(\sin((1-x) + (1-2x)) + \sin((1-x) - (1-2x))) = \frac{1}{2}(\sin(2 - 3x) + \sin(x))$.

Ответ: $\frac{1}{2}(\sin(2 - 3x) + \sin(x))$