Страница 85, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

8.7. 1) Найдите число способов выбора старосты и физрука класса из 20 учащихся.

2) Найдите число способов выставления двум учащимся одной из отметок ${3, 4, 5}$.

1) В данной задаче необходимо выбрать двух учащихся из 20 на две различные должности: старосту и физрука. Поскольку должности различны, порядок выбора имеет значение. Это означает, что выбор ученика Иванова на должность старосты и ученика Петрова на должность физрука является одной комбинацией, а выбор Петрова на должность старосты и Иванова на должность физрука — другой.

Такой тип задач решается с помощью размещений без повторений или по правилу умножения.

1. Способ с использованием правила умножения:
На должность старосты можно выбрать любого из 20 учащихся. Таким образом, есть 20 способов.
После того как староста выбран, на должность физрука остается 19 учащихся. Следовательно, есть 19 способов выбрать физрука.
Общее число способов равно произведению числа способов для каждого выбора: $20 \times 19 = 380$.

2. Способ с использованием формулы размещений:
Число способов выбрать и разместить $k$ элементов из множества $n$ элементов называется числом размещений и вычисляется по формуле: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.
В нашем случае $n = 20$ (общее число учащихся), а $k = 2$ (количество должностей).
$A_{20}^2 = \frac{20!}{(20-2)!} = \frac{20!}{18!} = \frac{18! \times 19 \times 20}{18!} = 19 \times 20 = 380$.

Ответ: 380

2) В этой задаче нужно найти количество способов выставления оценок двум учащимся. Каждому из них можно поставить одну из трех оценок: {3, 4, 5}. Оценка, выставленная одному учащемуся, не влияет на оценку, которую получит другой.

Для первого учащегося существует 3 возможных варианта оценки (3, 4 или 5).

Для второго учащегося также существует 3 возможных варианта оценки (3, 4 или 5).

Согласно правилу умножения, общее число способов равно произведению числа вариантов для каждого независимого события. Таким образом, общее число способов выставить оценки двум учащимся равно:

$3 \times 3 = 9$.

Такой тип задач относится к размещениям с повторениями, где число вариантов вычисляется по формуле $n^k$, где $n$ — количество вариантов для каждого элемента (в нашем случае, оценок), а $k$ — количество элементов, для которых делается выбор (в нашем случае, учащихся).
$n = 3$, $k = 2$.
Число способов: $3^2 = 9$.

Ответ: 9

8.8. Найдите число способов раскраски 2 фигур 6 цветами.

8.8. Для решения этой задачи необходимо определить, сколько существует комбинаций при раскрашивании двух фигур шестью цветами. В подобных задачах по комбинаторике, если в условии не указано иное, принято считать объекты (в данном случае фигуры) различимыми, а варианты выбора (цвета) — доступными для повторного использования.

Пусть у нас есть две различные фигуры: Фигура 1 и Фигура 2. И есть шесть различных цветов.

Для раскраски Фигуры 1 мы можем выбрать любой из 6 доступных цветов. Таким образом, для первой фигуры существует 6 вариантов выбора.

Поскольку цвета можно использовать повторно (нет ограничения, что фигуры должны быть разного цвета), для раскраски Фигуры 2 мы также можем выбрать любой из 6 цветов. Это дает нам еще 6 вариантов выбора.

Выбор цвета для одной фигуры является независимым событием от выбора цвета для другой. Согласно правилу произведения, общее число способов раскраски равно произведению числа вариантов для каждой фигуры.

Общее число способов $N$ вычисляется по формуле:

$N = (\text{количество вариантов для Фигуры 1}) \times (\text{количество вариантов для Фигуры 2})$

Подставляя наши значения, получаем:

$N = 6 \times 6 = 36$

Этот тип задачи также известен как размещение с повторениями. Формула для числа размещений с повторениями из $n$ элементов по $k$ позициям: $\bar{A}_n^k = n^k$. В нашем случае, у нас $k=2$ фигуры (позиции, которые нужно заполнить цветом) и $n=6$ цветов (элементы, которые можно выбирать).

Число способов = $6^2 = 36$.

Таким образом, существует 36 различных способов раскрасить 2 фигуры 6 цветами при данных условиях.

Ответ: 36

8.9. Решите уравнение:

1) $A_x^2 = 20$;

2) $P_x = 24$;

3) $A_x^2 = x(x - 1)$.

1) $A_x^2 = 20$

Число размещений из $x$ элементов по 2, обозначаемое $A_x^2$, определяется по формуле $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$ при условии, что $n$ — натуральное число и $n \ge k$. В данном случае $n=x$ и $k=2$, поэтому $x$ должен быть натуральным числом и $x \ge 2$.

Упростим выражение для $A_x^2$: $A_x^2 = \frac{x!}{(x-2)!} = \frac{x \cdot (x-1) \cdot (x-2)!}{(x-2)!} = x(x-1)$.

Подставим это в исходное уравнение: $x(x-1) = 20$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение: $x^2 - x = 20$ $x^2 - x - 20 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{81}}{2} = \frac{1 + 9}{2} = 5$. $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{81}}{2} = \frac{1 - 9}{2} = -4$.

Согласно области определения, $x$ должен быть натуральным числом и $x \ge 2$. Корень $x_1 = 5$ удовлетворяет этому условию. Корень $x_2 = -4$ не удовлетворяет, так как не является натуральным числом. Следовательно, решением является $x=5$.

Ответ: 5

2) $P_x = 24$

Число перестановок из $x$ элементов, обозначаемое $P_x$, определяется по формуле $P_x = x!$. По определению, $x$ должно быть целым неотрицательным числом ($x \in \{0, 1, 2, ...\}$).

Уравнение принимает вид: $x! = 24$.

Найдем значение $x$ путем вычисления факториалов для малых целых неотрицательных чисел: $1! = 1$ $2! = 1 \cdot 2 = 2$ $3! = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$ $4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$.

Отсюда следует, что $x=4$. Это значение удовлетворяет области определения.

Ответ: 4

3) $A_x^2 = x(x-1)$

Как и в первом пункте, используем формулу для числа размещений $A_x^2 = x(x-1)$. Область определения для $A_x^2$: $x$ — натуральное число и $x \ge 2$.

Подставим выражение для $A_x^2$ в уравнение: $x(x-1) = x(x-1)$.

Данное равенство является тождеством, то есть оно верно для любого значения $x$, для которого определена левая часть ($A_x^2$). Следовательно, решением уравнения являются все числа из области определения $A_x^2$.

Таким образом, $x$ — любое натуральное число, удовлетворяющее условию $x \ge 2$.

Ответ: любое натуральное число $x \ge 2$.

8.10. Найдите корни уравнения:

1) $A_x^3 = 14x - 2x^2$

2) $A_x^3 = 20x + 4x^2$

3) $A_x^3 = 2x^3 - 5x^2 - 6x$

Для решения данных уравнений используется формула для числа размещений из $x$ по 3: $A_x^3 = \frac{x!}{(x-3)!} = x(x-1)(x-2)$. По определению размещений, $x$ должен быть натуральным числом, и должно выполняться условие $x \ge 3$.

1) $A_x^3 = 14x - 2x^2$
Заменим $A_x^3$ на его выражение через $x$ и решим полученное уравнение:
$x(x-1)(x-2) = 14x - 2x^2$
$x(x^2 - 3x + 2) = 14x - 2x^2$
$x^3 - 3x^2 + 2x = 14x - 2x^2$
Приведем все члены к левой части:
$x^3 - x^2 - 12x = 0$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(x^2 - x - 12) = 0$
Это уравнение имеет корни $x_1 = 0$ или $x^2 - x - 12 = 0$.
Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49$.
Корни квадратного уравнения: $x_2 = \frac{1 + \sqrt{49}}{2} = \frac{1 + 7}{2} = 4$ и $x_3 = \frac{1 - \sqrt{49}}{2} = \frac{1 - 7}{2} = -3$.
Получили три возможных корня: 0, 4, -3. Согласно области определения ($x$ - натуральное число и $x \ge 3$), нам подходит только $x=4$.
Ответ: 4.

2) $A_x^3 = 20x + 4x^2$
Подставим выражение для $A_x^3$ в уравнение:
$x(x-1)(x-2) = 20x + 4x^2$
$x^3 - 3x^2 + 2x = 20x + 4x^2$
$x^3 - 7x^2 - 18x = 0$
$x(x^2 - 7x - 18) = 0$
Корни уравнения: $x_1 = 0$ или $x^2 - 7x - 18 = 0$.
Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 49 + 72 = 121$.
Корни квадратного уравнения: $x_2 = \frac{7 + \sqrt{121}}{2} = \frac{7 + 11}{2} = 9$ и $x_3 = \frac{7 - \sqrt{121}}{2} = \frac{7 - 11}{2} = -2$.
Из полученных корней 0, 9, -2 условию $x \ge 3$ и $x \in \mathbb{N}$ удовлетворяет только $x=9$.
Ответ: 9.

3) $A_x^3 = 2x^3 - 5x^2 - 6x$
Подставим выражение для $A_x^3$ в уравнение:
$x(x-1)(x-2) = 2x^3 - 5x^2 - 6x$
$x^3 - 3x^2 + 2x = 2x^3 - 5x^2 - 6x$
$x^3 - 2x^2 - 8x = 0$
$x(x^2 - 2x - 8) = 0$
Корни уравнения: $x_1 = 0$ или $x^2 - 2x - 8 = 0$.
Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$.
Корни квадратного уравнения: $x_2 = \frac{2 + \sqrt{36}}{2} = \frac{2 + 6}{2} = 4$ и $x_3 = \frac{2 - \sqrt{36}}{2} = \frac{2 - 6}{2} = -2$.
Из полученных корней 0, 4, -2 условию $x \ge 3$ и $x \in \mathbb{N}$ удовлетворяет только $x=4$.
Ответ: 4.

8.11. 1) Значение суммы цифр положительного двузначного числа равно 13. Если от этого числа вычесть 27, то получим число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найдите данное число.

2) Значение суммы квадратов цифр положительного двузначного числа равно 13. Если от этого числа вычесть 9, то получим число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найдите данное число.

1)

Пусть искомое положительное двузначное число записывается как $10x + y$, где $x$ — это цифра десятков, а $y$ — цифра единиц. При этом $x$ и $y$ — целые числа, где $1 \le x \le 9$ и $0 \le y \le 9$.

По первому условию задачи, сумма цифр этого числа равна 13. Запишем это в виде уравнения:
$x + y = 13$

Число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, будет иметь вид $10y + x$. По второму условию, если от исходного числа отнять 27, то получится это перевернутое число. Составим второе уравнение:
$(10x + y) - 27 = 10y + x$

Упростим второе уравнение, перенеся переменные в одну сторону, а числа в другую:
$10x - x + y - 10y = 27$
$9x - 9y = 27$
Разделим обе части уравнения на 9:
$x - y = 3$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными:
$ \begin{cases} x + y = 13 \\ x - y = 3 \end{cases} $
Сложим эти два уравнения:
$(x + y) + (x - y) = 13 + 3$
$2x = 16$
$x = 8$
Подставим найденное значение $x$ в первое уравнение системы, чтобы найти $y$:
$8 + y = 13$
$y = 13 - 8$
$y = 5$

Таким образом, искомое число состоит из цифр $x=8$ и $y=5$, то есть это число 85.
Проверим: сумма цифр $8 + 5 = 13$. Разность $85 - 27 = 58$. Условия задачи выполняются.

Ответ: 85.

2)

Пусть искомое положительное двузначное число также записывается как $10x + y$, где $x$ — цифра десятков ($1 \le x \le 9$), а $y$ — цифра единиц ($0 \le y \le 9$).

Согласно первому условию, сумма квадратов его цифр равна 13:
$x^2 + y^2 = 13$

По второму условию, если от этого числа вычесть 9, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке ($10y + x$):
$(10x + y) - 9 = 10y + x$

Упростим второе уравнение:
$10x - x + y - 10y = 9$
$9x - 9y = 9$
Разделим обе части уравнения на 9:
$x - y = 1$

Теперь решим систему уравнений:
$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 13 \\ x - y = 1 \end{cases} $
Из второго уравнения выразим $x$ через $y$: $x = y + 1$.
Подставим это выражение в первое уравнение системы:
$(y + 1)^2 + y^2 = 13$
$y^2 + 2y + 1 + y^2 = 13$
$2y^2 + 2y - 12 = 0$
Разделим обе части на 2, чтобы упростить:
$y^2 + y - 6 = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно $y$. Решим его, например, через теорему Виета. Ищем два числа, произведение которых равно -6, а сумма равна -1. Это числа 2 и -3.
$y_1 = 2$, $y_2 = -3$
Поскольку $y$ — это цифра, она не может быть отрицательной. Значит, единственное подходящее решение — это $y = 2$.
Теперь найдем $x$:
$x = y + 1 = 2 + 1 = 3$

Итак, искомое число состоит из цифр $x=3$ и $y=2$, то есть это число 32.
Проверим: сумма квадратов цифр $3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13$. Разность $32 - 9 = 23$. Условия задачи выполняются.

Ответ: 32.

8.12. На координатной плоскости изобразите множество точек, удовлетворяющих системе неравенств:

1)

$$\begin{cases} x^2 \leq 9; \\ y + x^2 < 3; \end{cases}$$

2)

$$\begin{cases} y^2 + x^2 - 9 \leq 0; \\ y > x^2 - 2x; \end{cases}$$

3)

$$\begin{cases} |x| \leq 3; \\ x^2 + y^2 - 9 \geq 0. \end{cases}$$

1)

Рассмотрим систему неравенств:$\begin{cases}x^2 \le 9 \\y + x^2 < 3\end{cases}$Первое неравенство $x^2 \le 9$ эквивалентно $|x| \le 3$, или $-3 \le x \le 3$. Это множество точек, расположенных в вертикальной полосе между прямыми $x = -3$ и $x = 3$, включая сами прямые.Второе неравенство $y + x^2 < 3$ преобразуется к виду $y < 3 - x^2$. Это множество точек, расположенных ниже параболы $y = 3 - x^2$. Ветви параболы направлены вниз, вершина находится в точке $(0, 3)$. Поскольку неравенство строгое, граница (парабола) не включается в множество решений и изображается пунктирной линией.Решением системы является пересечение этих двух множеств: часть вертикальной полосы $-3 \le x \le 3$, которая находится ниже параболы $y = 3 - x^2$.Границами искомого множества являются отрезки прямых $x=-3$ и $x=3$ (сплошные линии) и дуга параболы $y=3-x^2$ (пунктирная линия).

Ответ:

2)

Рассмотрим систему неравенств:$\begin{cases}y^2 + x^2 - 9 \le 0 \\y > x^2 - 2x\end{cases}$Первое неравенство $y^2 + x^2 - 9 \le 0$ преобразуется к виду $x^2 + y^2 \le 3^2$. Это множество точек, лежащих внутри и на границе окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $3$. Граница (окружность) включается в решение и изображается сплошной линией.Второе неравенство $y > x^2 - 2x$ задает множество точек, расположенных выше параболы $y = x^2 - 2x$. Уравнение параболы можно записать как $y = (x-1)^2 - 1$, ее ветви направлены вверх, а вершина находится в точке $(1, -1)$. Неравенство строгое, поэтому граница (парабола) не является частью решения и изображается пунктирной линией.Решением системы является пересечение этих двух множеств — та часть круга $x^2 + y^2 \le 9$, которая находится выше параболы $y = x^2 - 2x$.

Ответ:

3)

Рассмотрим систему неравенств:$\begin{cases}|x| \le 3 \\x^2 + y^2 - 9 \ge 0\end{cases}$Первое неравенство $|x| \le 3$ эквивалентно $-3 \le x \le 3$. Это множество точек, расположенных в вертикальной полосе между прямыми $x = -3$ и $x = 3$, включая сами прямые. Границы $x=-3$ и $x=3$ сплошные.Второе неравенство $x^2 + y^2 - 9 \ge 0$ преобразуется к виду $x^2 + y^2 \ge 3^2$. Оно описывает множество точек, лежащих на границе и вне окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $3$. Граница (окружность) включается в решение и изображается сплошной линией.Решением системы является пересечение этих двух множеств: часть вертикальной полосы $-3 \le x \le 3$, которая находится вне или на границе круга $x^2 + y^2 < 9$. Это две неограниченные области, симметричные относительно оси Ox.

Ответ:

8.13. Найдите наибольшее натуральное число, удовлетворяющее неравенству:

1) $(4 - x)(x - 6)^2 > 0;$

2) $(x - 3)^2(x - 10) \le 0;$

3) $\frac{x^2 - 81}{x + 5} < 0;$

4) $\frac{13x - x^2}{x - 5,5} \ge 0.$

1)Решим неравенство $(4 - x)(x - 6)² > 0$. Множитель $(x - 6)²$ неотрицателен при любых значениях $x$. Поскольку неравенство строгое, то левая часть не может быть равна нулю, следовательно, $x - 6 \ne 0$, то есть $x \ne 6$. При $x \ne 6$ множитель $(x - 6)²$ всегда положителен. Значит, знак всего выражения зависит от знака множителя $(4 - x)$. Для выполнения неравенства требуется, чтобы $4 - x > 0$. Решая это линейное неравенство, получаем $x < 4$. Таким образом, решением исходного неравенства является интервал $(-\infty; 4)$. Нам необходимо найти наибольшее натуральное число, удовлетворяющее этому условию. Натуральные числа, которые меньше 4, — это 1, 2, 3. Наибольшее из них равно 3.
Ответ: 3

2)Решим неравенство $(x - 3)²(x - 10) \le 0$. Множитель $(x - 3)²$ всегда неотрицателен. Неравенство будет выполняться в двух случаях:
а) Произведение равно нулю. Это происходит, когда один из множителей равен нулю: $x - 3 = 0$ или $x - 10 = 0$. Отсюда получаем корни $x = 3$ и $x = 10$. Оба этих числа являются натуральными и входят в решение.
б) Произведение отрицательно. Для этого необходимо, чтобы множители имели разные знаки. Так как $(x - 3)² > 0$ при $x \ne 3$, то второй множитель должен быть отрицательным: $x - 10 < 0$, что дает $x < 10$.
Объединяя все условия, получаем, что решение неравенства — это множество $x \in (-\infty, 10]$. Нам нужно найти наибольшее натуральное число из этого множества. Таким числом является 10.
Ответ: 10

3)Решим неравенство $\frac{x^2 - 81}{x + 5} < 0$. Разложим числитель на множители по формуле разности квадратов: $x^2 - 81 = (x - 9)(x + 9)$. Неравенство примет вид $\frac{(x - 9)(x + 9)}{x + 5} < 0$. Решим его методом интервалов. Найдем нули числителя ($x = 9, x = -9$) и нуль знаменателя ($x = -5$). Отметим эти точки на числовой оси (все точки выколотые, так как неравенство строгое).

Определим знаки выражения на интервалах: $(-\infty; -9)$, $(-9; -5)$, $(-5; 9)$, $(9; +\infty)$. Выражение отрицательно на интервалах $(-\infty; -9)$ и $(-5; 9)$. Решением неравенства является объединение этих интервалов: $x \in (-\infty; -9) \cup (-5; 9)$. Нам нужно найти наибольшее натуральное число из этого решения. Натуральные числа содержатся только в интервале $(-5; 9)$. Это числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Наибольшее из них — 8.
Ответ: 8

4)Решим неравенство $\frac{13x - x^2}{x - 5,5} \ge 0$. Вынесем $x$ в числителе за скобки: $\frac{x(13 - x)}{x - 5,5} \ge 0$. Чтобы избавиться от минуса при старшей степени в числителе, умножим обе части неравенства на -1 и сменим знак на противоположный: $\frac{x(x - 13)}{x - 5,5} \le 0$. Решим полученное неравенство методом интервалов. Нули числителя: $x = 0, x = 13$. Нуль знаменателя: $x = 5,5$. Нули числителя входят в решение (точки закрашенные), нуль знаменателя — нет (точка выколотая).

Определим знаки выражения $\frac{x(x - 13)}{x - 5,5}$ на интервалах. Выражение отрицательно или равно нулю на множестве $(-\infty; 0] \cup (5,5; 13]$. Нам нужно найти наибольшее натуральное число из этого множества. Натуральные числа, входящие в решение, — это {6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13}. Наибольшее из них — 13.
Ответ: 13

8.14. Имеются два сплава, состоящие из цинка, меди и олова. Известно, что первый сплав содержит 25% цинка, второй — 50% меди. Процентное содержание олова в первом сплаве в 2 раза выше, чем во втором. Сплавив 200 кг первого и 300 кг второго, получили новый сплав, в котором оказалось 28% олова. Сколько килограммов меди содержится в получившемся новом сплаве?

Для решения задачи введем переменные и составим уравнения. Пусть $x$ — это процентное содержание олова во втором сплаве. Тогда, согласно условию, процентное содержание олова в первом сплаве равно $2x$.

Масса первого сплава $m_1 = 200$ кг, а масса второго сплава $m_2 = 300$ кг. Общая масса нового сплава, полученного их смешиванием, составляет:$M_{общ} = m_1 + m_2 = 200 + 300 = 500$ кг.

Выразим массу олова в каждом из первоначальных сплавов.Масса олова в первом сплаве: $m_{олова1} = 200 \cdot \frac{2x}{100} = 4x$ кг.Масса олова во втором сплаве: $m_{олова2} = 300 \cdot \frac{x}{100} = 3x$ кг.

Общая масса олова в новом сплаве является суммой масс олова из двух исходных сплавов:$M_{олова} = m_{олова1} + m_{олова2} = 4x + 3x = 7x$ кг.

По условию, в новом сплаве содержится 28% олова. Найдем массу олова в новом сплаве, исходя из его общей массы:$M_{олова} = 500 \cdot \frac{28}{100} = 500 \cdot 0.28 = 140$ кг.

Теперь мы можем составить уравнение, приравняв два выражения для общей массы олова, и найти $x$:$7x = 140$$x = \frac{140}{7}$$x = 20$

Таким образом, процентное содержание олова во втором сплаве составляет 20%, а в первом сплаве — $2 \cdot 20\% = 40\%$.

Теперь найдем, сколько килограммов меди содержится в получившемся новом сплаве. Для этого сначала вычислим массу меди в каждом из исходных сплавов. В первом сплаве содержится 25% цинка и 40% олова. Сумма всех компонентов должна составлять 100%, поэтому процентное содержание меди в первом сплаве равно:$100\% - 25\% - 40\% = 35\%$.Масса меди в 200 кг первого сплава составляет:$200 \cdot \frac{35}{100} = 70$ кг.

Во втором сплаве, по условию, содержится 50% меди. Масса меди в 300 кг второго сплава составляет:$300 \cdot \frac{50}{100} = 150$ кг.

Общая масса меди в новом сплаве равна сумме масс меди из первого и второго сплавов:$70 \text{ кг} + 150 \text{ кг} = 220$ кг.

Ответ: 220 кг.

1. Для каких углов можно использовать формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму?

2. Почему формулу $\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} [\cos(\alpha - \beta) - \cos (\alpha + \beta)]$ относят к формулам преобразования произведения тригонометрических функций в сумму, а не в разность?

1. Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму (или разность) можно использовать для любых углов.
Это связано с тем, что основные тригонометрические функции, такие как синус ($ \sin x $) и косинус ($ \cos x $), определены для любого действительного числа $x$. Аргументами этих функций могут быть любые углы, выраженные в градусах или радианах.
Рассмотрим, например, формулы:
$ \sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}[\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)] $
$ \cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)] $
$ \sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)] $
Во всех этих формулах-тождествах углы $ \alpha $ и $ \beta $ могут принимать любые действительные значения. Никаких ограничений, таких как деление на ноль или извлечение корня из отрицательного числа, в этих формулах не возникает. Следовательно, они справедливы для абсолютно любых углов.
Ответ: Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму можно использовать для любых углов $ \alpha $ и $ \beta $, так как функции синус и косинус определены на всей числовой оси.

2. Формулу $ \sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)] $ относят к формулам преобразования в сумму, потому что в алгебре понятие "сумма" часто используется в более широком смысле, как "алгебраическая сумма".
Алгебраическая сумма — это операция, которая включает как сложение, так и вычитание. Любую разность можно представить в виде суммы. Например, выражение $ A - B $ можно записать как сумму $ A + (-B) $.
Таким образом, правая часть формулы $ \frac{1}{2}[\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)] $ является алгебраической суммой двух слагаемых: $ \frac{1}{2}\cos(\alpha - \beta) $ и $ (-\frac{1}{2}\cos(\alpha + \beta)) $.
Название "формулы преобразования произведения в сумму" является обобщающим для всей группы подобных тождеств. Оно подчеркивает главный принцип: переход от операции умножения тригонометрических функций к операции сложения/вычитания. Некоторые формулы в этой группе содержат знак плюс, другие — минус, но все они относятся к одному классу преобразований.
Ответ: Эту формулу относят к формулам преобразования в сумму, так как в математике разность рассматривается как частный случай суммы (алгебраическая сумма), а название является обобщающим для всей группы формул, преобразующих произведение в сложение или вычитание.

28.1. Запишите в виде суммы тригонометрических функций выражение:

1) $sin(5a) \cdot cos(2a);$

2) $sin(8a) \cdot cos(12a);$

3) $cos(5a) \cdot cos(7a);$

4) $cos(6a) \cdot cos(-15a);$

5) $sin(6a) \cdot sin(14a);$

6) $sin(3a) \cdot sin(-21a);$

7) $sin\left(\frac{\pi}{2} - 5a\right) cos(3a);$

8) $sin(\pi+5a) cos(3\pi-3a);$

9) $cos(7a) \cdot cos(2\pi + 9a).$

1) Для преобразования произведения $\sin 5a \cdot \cos 2a$ в сумму используется формула преобразования произведения в сумму: $\sin\alpha \cos\beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta))$.
В данном случае $\alpha = 5a$ и $\beta = 2a$.
Подставляем значения в формулу:
$\sin 5a \cos 2a = \frac{1}{2}(\sin(5a+2a) + \sin(5a-2a)) = \frac{1}{2}(\sin 7a + \sin 3a)$.
Ответ: $\frac{1}{2}(\sin 7a + \sin 3a)$.

2) Для выражения $\sin 8a \cdot \cos 12a$ применяем ту же формулу: $\sin\alpha \cos\beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta))$.
Здесь $\alpha = 8a$ и $\beta = 12a$.
$\sin 8a \cos 12a = \frac{1}{2}(\sin(8a+12a) + \sin(8a-12a)) = \frac{1}{2}(\sin 20a + \sin(-4a))$.
Так как синус — нечетная функция, $\sin(-4a) = -\sin 4a$.
Получаем: $\frac{1}{2}(\sin 20a - \sin 4a)$.
Ответ: $\frac{1}{2}(\sin 20a - \sin 4a)$.

3) Для преобразования произведения $\cos 5a \cdot \cos 7a$ используем формулу: $\cos\alpha \cos\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta))$.
В данном случае $\alpha = 5a$ и $\beta = 7a$.
$\cos 5a \cos 7a = \frac{1}{2}(\cos(5a+7a) + \cos(5a-7a)) = \frac{1}{2}(\cos 12a + \cos(-2a))$.
Так как косинус — четная функция, $\cos(-2a) = \cos 2a$.
Получаем: $\frac{1}{2}(\cos 12a + \cos 2a)$.
Ответ: $\frac{1}{2}(\cos 12a + \cos 2a)$.

4) В выражении $\cos 6a \cdot \cos(-15a)$ сначала упростим $\cos(-15a)$. Так как косинус — четная функция, $\cos(-15a) = \cos 15a$.
Выражение принимает вид: $\cos 6a \cdot \cos 15a$.
Применяем формулу: $\cos\alpha \cos\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta))$, где $\alpha=6a, \beta=15a$.
$\cos 6a \cos 15a = \frac{1}{2}(\cos(6a+15a) + \cos(6a-15a)) = \frac{1}{2}(\cos 21a + \cos(-9a))$.
Используя четность косинуса, $\cos(-9a) = \cos 9a$.
Получаем: $\frac{1}{2}(\cos 21a + \cos 9a)$.
Ответ: $\frac{1}{2}(\cos 21a + \cos 9a)$.

5) Для преобразования произведения $\sin 6a \cdot \sin 14a$ используем формулу: $\sin\alpha \sin\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta))$.
Здесь $\alpha = 6a$ и $\beta = 14a$.
$\sin 6a \sin 14a = \frac{1}{2}(\cos(6a-14a) - \cos(6a+14a)) = \frac{1}{2}(\cos(-8a) - \cos(20a))$.
Так как косинус — четная функция, $\cos(-8a) = \cos 8a$.
Получаем: $\frac{1}{2}(\cos 8a - \cos 20a)$.
Ответ: $\frac{1}{2}(\cos 8a - \cos 20a)$.

6) В выражении $\sin 3a \cdot \sin(-21a)$ сначала упростим $\sin(-21a)$. Так как синус — нечетная функция, $\sin(-21a) = -\sin 21a$.
Выражение становится: $\sin 3a \cdot (-\sin 21a) = -\sin 3a \sin 21a$.
Применяем формулу $\sin\alpha \sin\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta))$, где $\alpha=3a, \beta=21a$.
$-\sin 3a \sin 21a = -\frac{1}{2}(\cos(3a-21a) - \cos(3a+21a)) = -\frac{1}{2}(\cos(-18a) - \cos(24a))$.
Используя четность косинуса, $\cos(-18a) = \cos 18a$.
$-\frac{1}{2}(\cos 18a - \cos 24a) = \frac{1}{2}(\cos 24a - \cos 18a)$.
Ответ: $\frac{1}{2}(\cos 24a - \cos 18a)$.

7) В выражении $\sin(\frac{\pi}{2} - 5a)\cos 3a$ сначала применим формулу приведения: $\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos \alpha$.
Таким образом, $\sin(\frac{\pi}{2} - 5a) = \cos 5a$.
Выражение принимает вид: $\cos 5a \cos 3a$.
Используем формулу: $\cos\alpha \cos\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta))$, где $\alpha = 5a, \beta = 3a$.
$\cos 5a \cos 3a = \frac{1}{2}(\cos(5a+3a) + \cos(5a-3a)) = \frac{1}{2}(\cos 8a + \cos 2a)$.
Ответ: $\frac{1}{2}(\cos 8a + \cos 2a)$.

8) В выражении $\sin(\pi+5a) \cos(3\pi-3a)$ применим формулы приведения.
$\sin(\pi+\alpha) = -\sin\alpha$, поэтому $\sin(\pi+5a) = -\sin 5a$.
$\cos(3\pi-\alpha) = \cos(\pi-\alpha) = -\cos\alpha$, поэтому $\cos(3\pi-3a) = -\cos 3a$.
Выражение становится: $(-\sin 5a) \cdot (-\cos 3a) = \sin 5a \cos 3a$.
Используем формулу $\sin\alpha \cos\beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta))$, где $\alpha = 5a, \beta = 3a$.
$\sin 5a \cos 3a = \frac{1}{2}(\sin(5a+3a) + \sin(5a-3a)) = \frac{1}{2}(\sin 8a + \sin 2a)$.
Ответ: $\frac{1}{2}(\sin 8a + \sin 2a)$.

9) В выражении $\cos 7a \cdot \cos(2\pi + 9a)$ используем периодичность косинуса: $\cos(2\pi + \alpha) = \cos \alpha$.
Таким образом, $\cos(2\pi + 9a) = \cos 9a$.
Выражение принимает вид: $\cos 7a \cos 9a$.
Применяем формулу $\cos\alpha \cos\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta))$, где $\alpha = 7a, \beta = 9a$.
$\cos 7a \cos 9a = \frac{1}{2}(\cos(7a+9a) + \cos(7a-9a)) = \frac{1}{2}(\cos 16a + \cos(-2a))$.
Так как косинус — четная функция, $\cos(-2a) = \cos 2a$.
Получаем: $\frac{1}{2}(\cos 16a + \cos 2a)$.
Ответ: $\frac{1}{2}(\cos 16a + \cos 2a)$.

28.2. Представьте в виде суммы или разности выражение:

1) $2\sin27^\circ \cos9^\circ;$

2) $-2\sin25^\circ \sin15^\circ;$

3) $2\sin a \cos3a;$

4) $2\cos 2a \cos a;$

5) $\cos(x + 1) \cos(x - 1);$

6) $2\sin(a + b) \cos(a - b);$

7) $\sin(m + n) \sin(m - n);$

8) $\sin(2x + 3) \sin(x - 3);$

9) $\sin(1 - x) \cdot \cos(1 - 2x).$

Для решения данных задач используются формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму или разность:
$2\sin\alpha\cos\beta = \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)$
$2\cos\alpha\cos\beta = \cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)$
$2\sin\alpha\sin\beta = \cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)$
$-2\sin\alpha\sin\beta = \cos(\alpha + \beta) - \cos(\alpha - \beta)$

1) $2\sin27^\circ\cos9^\circ$

Применим формулу $2\sin\alpha\cos\beta = \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)$, где $\alpha = 27^\circ$ и $\beta = 9^\circ$.

$2\sin27^\circ\cos9^\circ = \sin(27^\circ + 9^\circ) + \sin(27^\circ - 9^\circ) = \sin36^\circ + \sin18^\circ$.

Ответ: $\sin36^\circ + \sin18^\circ$

2) $-2\sin25^\circ\sin15^\circ$

Применим формулу $-2\sin\alpha\sin\beta = \cos(\alpha + \beta) - \cos(\alpha - \beta)$, где $\alpha = 25^\circ$ и $\beta = 15^\circ$.

$-2\sin25^\circ\sin15^\circ = \cos(25^\circ + 15^\circ) - \cos(25^\circ - 15^\circ) = \cos40^\circ - \cos10^\circ$.

Ответ: $\cos40^\circ - \cos10^\circ$

3) $2\sin a\cos3a$

Применим формулу $2\sin\alpha\cos\beta = \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)$, где $\alpha = a$ и $\beta = 3a$.

$2\sin a\cos3a = \sin(a + 3a) + \sin(a - 3a) = \sin(4a) + \sin(-2a)$.

Так как $\sin(-x) = -\sin(x)$, получаем: $\sin(4a) - \sin(2a)$.

Ответ: $\sin(4a) - \sin(2a)$

4) $2\cos 2a\cos a$

Применим формулу $2\cos\alpha\cos\beta = \cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)$, где $\alpha = 2a$ и $\beta = a$.

$2\cos 2a\cos a = \cos(2a + a) + \cos(2a - a) = \cos(3a) + \cos(a)$.

Ответ: $\cos(3a) + \cos(a)$

5) $\cos(x + 1)\cos(x - 1)$

Используем формулу $\cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta))$, где $\alpha = x + 1$ и $\beta = x - 1$.

$\cos(x + 1)\cos(x - 1) = \frac{1}{2}(\cos((x+1) + (x-1)) + \cos((x+1) - (x-1))) = \frac{1}{2}(\cos(2x) + \cos(2))$.

Ответ: $\frac{1}{2}(\cos(2x) + \cos(2))$

6) $2\sin(a + b)\cos(a - b)$

Применим формулу $2\sin\alpha\cos\beta = \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)$, где $\alpha = a + b$ и $\beta = a - b$.

$2\sin(a + b)\cos(a - b) = \sin((a+b) + (a-b)) + \sin((a+b) - (a-b)) = \sin(2a) + \sin(2b)$.

Ответ: $\sin(2a) + \sin(2b)$

7) $\sin(m + n)\sin(m - n)$

Используем формулу $\sin\alpha\sin\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta))$, где $\alpha = m + n$ и $\beta = m - n$.

$\sin(m + n)\sin(m - n) = \frac{1}{2}(\cos((m+n) - (m-n)) - \cos((m+n) + (m-n))) = \frac{1}{2}(\cos(2n) - \cos(2m))$.

Ответ: $\frac{1}{2}(\cos(2n) - \cos(2m))$

8) $\sin(2x + 3)\sin(x - 3)$

Используем формулу $\sin\alpha\sin\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta))$, где $\alpha = 2x + 3$ и $\beta = x - 3$.

$\sin(2x + 3)\sin(x - 3) = \frac{1}{2}(\cos((2x+3) - (x-3)) - \cos((2x+3) + (x-3))) = \frac{1}{2}(\cos(x + 6) - \cos(3x))$.

Ответ: $\frac{1}{2}(\cos(x + 6) - \cos(3x))$

9) $\sin(1 - x) \cdot \cos(1 - 2x)$

Используем формулу $\sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta))$, где $\alpha = 1 - x$ и $\beta = 1 - 2x$.

$\sin(1 - x)\cos(1 - 2x) = \frac{1}{2}(\sin((1-x) + (1-2x)) + \sin((1-x) - (1-2x))) = \frac{1}{2}(\sin(2 - 3x) + \sin(x))$.

Ответ: $\frac{1}{2}(\sin(2 - 3x) + \sin(x))$

28.3. Вычислите:

1) $2\sin22^\circ30' \cdot \cos7^\circ30'$

2) $2\cos7^\circ30' \cdot \sin52^\circ30'$

3) $\cos\frac{\pi}{4} \cdot \cos\frac{\pi}{12}$

4) $\sin\frac{\pi}{4} \cdot \sin\frac{\pi}{12}$

1) Для вычисления значения выражения $2\sin22^\circ30' \cdot \cos7^\circ30'$ воспользуемся формулой преобразования произведения тригонометрических функций в сумму: $2\sin\alpha\cos\beta = \sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)$.
В данном случае $\alpha = 22^\circ30'$ и $\beta = 7^\circ30'$.
Найдем сумму и разность углов:
$\alpha + \beta = 22^\circ30' + 7^\circ30' = 29^\circ60' = 30^\circ$.
$\alpha - \beta = 22^\circ30' - 7^\circ30' = 15^\circ$.
Подставим значения в формулу:
$2\sin22^\circ30' \cdot \cos7^\circ30' = \sin(30^\circ) + \sin(15^\circ)$.
Значение $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$.
Значение $\sin(15^\circ)$ можно найти, используя формулу синуса разности: $\sin(15^\circ) = \sin(45^\circ - 30^\circ) = \sin(45^\circ)\cos(30^\circ) - \cos(45^\circ)\sin(30^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$.
Следовательно, искомое значение:
$\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \frac{2}{4} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \frac{2 + \sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$.
Ответ: $\frac{2 + \sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$.

2) Для вычисления значения выражения $2\cos7^\circ30' \cdot \sin52^\circ30'$ воспользуемся формулой преобразования произведения в сумму: $2\cos\alpha\sin\beta = \sin(\alpha+\beta) - \sin(\alpha-\beta)$.
В данном случае $\alpha = 7^\circ30'$ и $\beta = 52^\circ30'$.
Найдем сумму и разность углов:
$\alpha + \beta = 7^\circ30' + 52^\circ30' = 59^\circ60' = 60^\circ$.
$\alpha - \beta = 7^\circ30' - 52^\circ30' = -45^\circ$.
Подставим значения в формулу:
$2\cos7^\circ30' \cdot \sin52^\circ30' = \sin(60^\circ) - \sin(-45^\circ)$.
Так как синус — нечетная функция, $\sin(-45^\circ) = -\sin(45^\circ)$.
Выражение принимает вид: $\sin(60^\circ) + \sin(45^\circ)$.
Знаем табличные значения: $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Следовательно, искомое значение:
$\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{2}$.

3) Для вычисления значения выражения $\cos\frac{\pi}{4} \cdot \cos\frac{\pi}{12}$ воспользуемся формулой преобразования произведения косинусов в сумму: $\cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta))$.
В данном случае $\alpha = \frac{\pi}{4}$ и $\beta = \frac{\pi}{12}$.
Найдем сумму и разность углов:
$\alpha + \beta = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{12} = \frac{3\pi}{12} + \frac{\pi}{12} = \frac{4\pi}{12} = \frac{\pi}{3}$.
$\alpha - \beta = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{12} = \frac{3\pi}{12} - \frac{\pi}{12} = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6}$.
Подставим значения в формулу:
$\cos\frac{\pi}{4} \cdot \cos\frac{\pi}{12} = \frac{1}{2}(\cos\frac{\pi}{3} + \cos\frac{\pi}{6})$.
Знаем табличные значения: $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ и $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Следовательно, искомое значение:
$\frac{1}{2}(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1 + \sqrt{3}}{2} = \frac{1 + \sqrt{3}}{4}$.
Ответ: $\frac{1 + \sqrt{3}}{4}$.

4) Для вычисления значения выражения $\sin\frac{\pi}{4} \cdot \sin\frac{\pi}{12}$ воспользуемся формулой преобразования произведения синусов в сумму: $\sin\alpha\sin\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta))$.
В данном случае $\alpha = \frac{\pi}{4}$ и $\beta = \frac{\pi}{12}$.
Сумма и разность углов были найдены в предыдущем пункте:
$\alpha - \beta = \frac{\pi}{6}$.
$\alpha + \beta = \frac{\pi}{3}$.
Подставим значения в формулу:
$\sin\frac{\pi}{4} \cdot \sin\frac{\pi}{12} = \frac{1}{2}(\cos\frac{\pi}{6} - \cos\frac{\pi}{3})$.
Знаем табличные значения: $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.
Следовательно, искомое значение:
$\frac{1}{2}(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3} - 1}{2} = \frac{\sqrt{3} - 1}{4}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3} - 1}{4}$.

28.4. Докажите справедливость равенства:

1) $ \cos75^\circ \cdot \sin345^\circ = -0,25; $

2) $ \sin105^\circ \cdot \sin295^\circ = 0,25. $

1) cos75° ⋅ sin345° = -0,25

Для доказательства или опровержения равенства преобразуем его левую часть, используя тригонометрические формулы.

Сначала упростим каждый множитель с помощью формул приведения:

$sin(345°) = sin(360° - 15°) = -sin(15°)$

$cos(75°) = cos(90° - 15°) = sin(15°)$

Теперь подставим полученные выражения в левую часть исходного равенства:

$cos(75°) \cdot sin(345°) = sin(15°) \cdot (-sin(15°)) = -sin^2(15°)$

Для нахождения значения $sin^2(15°)$ используем формулу понижения степени $sin^2(\alpha) = \frac{1 - cos(2\alpha)}{2}$:

$-sin^2(15°) = -\left(\frac{1 - cos(2 \cdot 15°)}{2}\right) = -\left(\frac{1 - cos(30°)}{2}\right)$

Мы знаем, что значение $cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Подставим его в выражение:

$-\left(\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}\right) = -\left(\frac{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}{2}\right) = -\frac{2 - \sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3} - 2}{4}$

Полученное значение $\frac{\sqrt{3} - 2}{4} \approx \frac{1.732 - 2}{4} = -0.067$, что не равно $-0.25$.

Следовательно, данное в условии равенство не является верным. Вероятнее всего, в условии допущена опечатка. Равенство будет справедливым, если заменить $cos(75°)$ на $sin(75°)$.

Докажем исправленное равенство: $sin(75°) \cdot sin(345°) = -0.25$.

$sin(75°) \cdot sin(345°) = sin(75°) \cdot (-sin(15°))$

Используем формулу приведения $sin(75°) = sin(90° - 15°) = cos(15°)$.

$-sin(15°) \cdot cos(15°)$

Применим формулу синуса двойного угла $sin(2\alpha) = 2sin(\alpha)cos(\alpha)$, из которой следует, что $sin(\alpha)cos(\alpha) = \frac{1}{2}sin(2\alpha)$:

$- \frac{1}{2}sin(2 \cdot 15°) = - \frac{1}{2}sin(30°) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{4} = -0.25$

$ -0.25 = -0.25$. Равенство доказано.

Ответ: Исходное равенство неверно. После исправления опечатки в условии на $sin(75°) \cdot sin(345°) = -0.25$ равенство становится верным, что и было доказано.

2) sin105° ⋅ sin295° = 0,25

Проверим справедливость данного равенства, преобразовав его левую часть. Воспользуемся формулой преобразования произведения синусов в сумму:

$sin(\alpha)sin(\beta) = \frac{1}{2}(cos(\alpha - \beta) - cos(\alpha + \beta))$

$sin(105°)sin(295°) = \frac{1}{2}(cos(105° - 295°) - cos(105° + 295°)) = \frac{1}{2}(cos(-190°) - cos(400°))$

Используя свойство четности косинуса $cos(-α) = cos(α)$ и его периодичность $cos(α + 360°k) = cos(α)$, получаем:

$\frac{1}{2}(cos(190°) - cos(360° + 40°)) = \frac{1}{2}(cos(190°) - cos(40°))$

Так как $cos(190°) = cos(180° + 10°) = -cos(10°)$, то выражение принимает вид:

$\frac{1}{2}(-cos(10°) - cos(40°))$

Поскольку $cos(10°)$ и $cos(40°)$ являются положительными числами, вся скобка отрицательна, а значит, и всё выражение отрицательно. Таким образом, оно не может быть равно положительному числу $0.25$.

Следовательно, равенство в условии неверно из-за опечатки. Равенство будет справедливым, если, например, заменить $sin(295°)$ на $cos(285°)$.

Докажем исправленное равенство: $sin(105°) \cdot cos(285°) = 0.25$.

Преобразуем множители с помощью формул приведения:

$sin(105°) = sin(90° + 15°) = cos(15°)$

$cos(285°) = cos(270° + 15°) = sin(15°)$

Подставим преобразованные значения в левую часть:

$sin(105°) \cdot cos(285°) = cos(15°) \cdot sin(15°)$

Используя формулу синуса двойного угла $sin(\alpha)cos(\alpha) = \frac{1}{2}sin(2\alpha)$:

$\frac{1}{2}sin(2 \cdot 15°) = \frac{1}{2}sin(30°) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} = 0.25$

$0.25 = 0.25$. Равенство доказано.

Ответ: Исходное равенство неверно. После исправления опечатки в условии на $sin(105°) \cdot cos(285°) = 0.25$ равенство становится верным, что и было доказано.

28.5. Найдите значение выражения:

1) $cos(\alpha + \beta)$, если $sin\alpha sin\beta = \frac{1}{2}$ и $cos\alpha cos\beta = -\frac{1}{2}$;

2) $cos(\alpha - \beta)$, если $sin\alpha sin\beta = \frac{1}{2}$ и $cos\alpha cos\beta = \frac{1}{2}$;

3) $\sqrt{2} cos(\alpha - \beta)$, если $cos\alpha cos\beta = -\frac{1}{2}$ и $sin\alpha sin\beta = -\frac{1}{2}$;

4) $3 cos(\alpha + \beta)$, если $cos \alpha cos\beta = -\frac{1}{2}$ и $sin\alpha sin\beta = -\frac{1}{2}$.

1) Для нахождения значения выражения $cos(α + β)$ воспользуемся формулой косинуса суммы двух углов:

$cos(α + β) = cosα \cdot cosβ - sinα \cdot sinβ$

В условии даны значения $sinα \cdot sinβ = \frac{1}{2}$ и $cosα \cdot cosβ = -\frac{1}{2}$. Подставим их в формулу:

$cos(α + β) = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2} = -1$

Ответ: -1

2) Для нахождения значения выражения $cos(α - β)$ воспользуемся формулой косинуса разности двух углов:

$cos(α - β) = cosα \cdot cosβ + sinα \cdot sinβ$

В условии даны значения $sinα \cdot sinβ = \frac{1}{2}$ и $cosα \cdot cosβ = \frac{1}{2}$. Подставим их в формулу:

$cos(α - β) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$

Ответ: 1

3) Сначала найдем значение $cos(α - β)$, используя формулу косинуса разности:

$cos(α - β) = cosα \cdot cosβ + sinα \cdot sinβ$

Подставим известные значения $cosα \cdot cosβ = \frac{1}{2}$ и $sinα \cdot sinβ = -\frac{1}{2}$:

$cos(α - β) = \frac{1}{2} + (-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$

Теперь умножим полученный результат на $\sqrt{2}$, чтобы найти значение всего выражения:

$\sqrt{2} \cdot cos(α - β) = \sqrt{2} \cdot 0 = 0$

Ответ: 0

4) Сначала найдем значение $cos(α + β)$, используя формулу косинуса суммы:

$cos(α + β) = cosα \cdot cosβ - sinα \cdot sinβ$

Подставим известные значения $cosα \cdot cosβ = -\frac{1}{2}$ и $sinα \cdot sinβ = -\frac{1}{2}$:

$cos(α + β) = -\frac{1}{2} - (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0$

Теперь умножим полученный результат на 3, чтобы найти значение всего выражения:

$3 \cdot cos(α + β) = 3 \cdot 0 = 0$

Ответ: 0