Страница 78, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

1. Для каких углов $\alpha$ и $\beta$ можно использовать формулы суммы и разности тригонометрических функций этих углов?

2. Какие формулы можно применить, чтобы преобразовать в произведение сумму (разность) тангенса и котангенса некоторого угла?

1. Формулы суммы и разности тригонометрических функций имеют разные области определения в зависимости от самих функций.

Для функций синуса и косинуса: функции $ \sin(\alpha) $ и $ \cos(\alpha) $ определены для любых действительных значений углов $ \alpha $ и $ \beta $. Поэтому формулы преобразования суммы или разности синусов и косинусов в произведение (например, $ \sin(\alpha) + \sin(\beta) = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $) можно использовать для любых углов $ \alpha $ и $ \beta $.

Для функции тангенса: функция $ \tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} $ определена, только если $ \cos(\alpha) \neq 0 $, то есть $ \alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k $ — любое целое число. Следовательно, формулы для суммы и разности тангенсов, $ \tan(\alpha) \pm \tan(\beta) $, можно использовать только для таких углов $ \alpha $ и $ \beta $, для которых определены оба тангенса.

Для функции котангенса: функция $ \cot(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} $ определена, только если $ \sin(\alpha) \neq 0 $, то есть $ \alpha \neq \pi n $, где $ n $ — любое целое число. Соответственно, формулы для суммы и разности котангенсов, $ \cot(\alpha) \pm \cot(\beta) $, можно использовать только для таких углов $ \alpha $ и $ \beta $, для которых определены оба котангенса.

Ответ: Формулы для суммы и разности синусов и косинусов можно использовать для любых углов $ \alpha $ и $ \beta $. Формулы для тангенсов — для углов $ \alpha, \beta \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $. Формулы для котангенсов — для углов $ \alpha, \beta \neq \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

2. Чтобы преобразовать в произведение сумму или разность тангенса и котангенса одного и того же угла $ \alpha $, необходимо последовательно применить несколько основных тригонометрических формул. Основной метод — это выражение тангенса и котангенса через синус и косинус.

Рассмотрим сумму $ \tan(\alpha) + \cot(\alpha) $:
1. Применяем определения тангенса и котангенса: $ \tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} $ и $ \cot(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} $.
$ \tan(\alpha) + \cot(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} + \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} $
2. Приводим дроби к общему знаменателю:
$ \frac{\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha)}{\sin(\alpha)\cos(\alpha)} $
3. В числителе применяем основное тригонометрическое тождество $ \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 $.
4. В знаменателе применяем формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) $, из которой следует $ \sin(\alpha)\cos(\alpha) = \frac{1}{2}\sin(2\alpha) $.
В результате получаем: $ \frac{1}{\frac{1}{2}\sin(2\alpha)} = \frac{2}{\sin(2\alpha)} $.

Рассмотрим разность $ \tan(\alpha) - \cot(\alpha) $:
1. Аналогично, начинаем с определений:
$ \tan(\alpha) - \cot(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} - \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} = \frac{\sin^2(\alpha) - \cos^2(\alpha)}{\sin(\alpha)\cos(\alpha)} $
2. В числителе используем формулу косинуса двойного угла $ \cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha) $, откуда $ \sin^2(\alpha) - \cos^2(\alpha) = -\cos(2\alpha) $.
3. В знаменателе, как и ранее, используем $ \sin(\alpha)\cos(\alpha) = \frac{1}{2}\sin(2\alpha) $.
В результате получаем: $ \frac{-\cos(2\alpha)}{\frac{1}{2}\sin(2\alpha)} = -2\frac{\cos(2\alpha)}{\sin(2\alpha)} = -2\cot(2\alpha) $.

Ответ: Для преобразования суммы (разности) тангенса и котангенса в произведение необходимо использовать следующие формулы: определения тангенса и котангенса через синус и косинус ($ \tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}, \cot(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} $), основное тригонометрическое тождество ($ \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 $) и формулы двойного угла ($ \sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) $ и $ \cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha) $).