Страница 74, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

26.17.1) Пусть $tga = \frac{5}{6}$ и $\pi < \alpha < 1.5\pi$. Найдите: $sin2\alpha$; $cos2\alpha$; $tg2\alpha$.

2) Пусть $cos \alpha = -0.8$ и $\pi < \alpha < 1.5\pi$. Найдите: $sin0.5\alpha$; $cos0.5\alpha$; $tg0.5\alpha$.

1)

Дано, что $\tg\alpha = \frac{5}{6}$ и угол $\alpha$ находится в интервале $\pi < \alpha < 1,5\pi$, что соответствует третьей координатной четверти.

Для нахождения $\sin2\alpha$, $\cos2\alpha$ и $\tg2\alpha$ можно воспользоваться формулами двойного угла, которые выражают эти функции через тангенс исходного угла. Это позволяет избежать нахождения $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$ и определения их знаков, хотя мы знаем, что в третьей четверти они оба отрицательны.

Найдем $\sin2\alpha$ по формуле $\sin2\alpha = \frac{2\tg\alpha}{1+\tg^2\alpha}$:

$\sin2\alpha = \frac{2 \cdot \frac{5}{6}}{1 + (\frac{5}{6})^2} = \frac{\frac{10}{6}}{1 + \frac{25}{36}} = \frac{\frac{5}{3}}{\frac{36+25}{36}} = \frac{\frac{5}{3}}{\frac{61}{36}} = \frac{5}{3} \cdot \frac{36}{61} = \frac{5 \cdot 12}{61} = \frac{60}{61}$.

Найдем $\cos2\alpha$ по формуле $\cos2\alpha = \frac{1-\tg^2\alpha}{1+\tg^2\alpha}$:

$\cos2\alpha = \frac{1 - (\frac{5}{6})^2}{1 + (\frac{5}{6})^2} = \frac{1 - \frac{25}{36}}{1 + \frac{25}{36}} = \frac{\frac{36-25}{36}}{\frac{36+25}{36}} = \frac{\frac{11}{36}}{\frac{61}{36}} = \frac{11}{61}$.

Найдем $\tg2\alpha$, разделив $\sin2\alpha$ на $\cos2\alpha$:

$\tg2\alpha = \frac{\sin2\alpha}{\cos2\alpha} = \frac{\frac{60}{61}}{\frac{11}{61}} = \frac{60}{11}$.

Также можно использовать формулу $\tg2\alpha = \frac{2\tg\alpha}{1-\tg^2\alpha}$:

$\tg2\alpha = \frac{2 \cdot \frac{5}{6}}{1 - (\frac{5}{6})^2} = \frac{\frac{5}{3}}{1 - \frac{25}{36}} = \frac{\frac{5}{3}}{\frac{11}{36}} = \frac{5}{3} \cdot \frac{36}{11} = \frac{60}{11}$.

Ответ: $\sin2\alpha = \frac{60}{61}$; $\cos2\alpha = \frac{11}{61}$; $\tg2\alpha = \frac{60}{11}$.

2)

Дано, что $\cos\alpha = -0,8$ и угол $\alpha$ находится в интервале $\pi < \alpha < 1,5\pi$.

Нам необходимо найти тригонометрические функции от угла $0,5\alpha$ (или $\frac{\alpha}{2}$). Для начала определим, в какой четверти лежит угол $0,5\alpha$. Разделим данное неравенство для $\alpha$ на 2:

$\frac{\pi}{2} < \frac{\alpha}{2} < \frac{1,5\pi}{2}$, что равносильно $\frac{\pi}{2} < 0,5\alpha < \frac{3\pi}{4}$.

Этот интервал находится во второй координатной четверти. Во второй четверти синус положителен ($\sin(0,5\alpha) > 0$), а косинус отрицателен ($\cos(0,5\alpha) < 0$).

Воспользуемся формулами половинного угла.

Найдем $\sin(0,5\alpha)$:

$\sin^2(0,5\alpha) = \frac{1 - \cos\alpha}{2} = \frac{1 - (-0,8)}{2} = \frac{1 + 0,8}{2} = \frac{1,8}{2} = 0,9 = \frac{9}{10}$.

Поскольку $\sin(0,5\alpha)$ положителен, берем положительное значение корня:

$\sin(0,5\alpha) = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10}$.

Найдем $\cos(0,5\alpha)$:

$\cos^2(0,5\alpha) = \frac{1 + \cos\alpha}{2} = \frac{1 + (-0,8)}{2} = \frac{1 - 0,8}{2} = \frac{0,2}{2} = 0,1 = \frac{1}{10}$.

Поскольку $\cos(0,5\alpha)$ отрицателен, берем отрицательное значение корня:

$\cos(0,5\alpha) = -\sqrt{\frac{1}{10}} = -\frac{1}{\sqrt{10}} = -\frac{\sqrt{10}}{10}$.

Найдем $\tg(0,5\alpha)$ по определению тангенса:

$\tg(0,5\alpha) = \frac{\sin(0,5\alpha)}{\cos(0,5\alpha)} = \frac{\frac{3}{\sqrt{10}}}{-\frac{1}{\sqrt{10}}} = -3$.

Ответ: $\sin(0,5\alpha) = \frac{3\sqrt{10}}{10}$; $\cos(0,5\alpha) = -\frac{\sqrt{10}}{10}$; $\tg(0,5\alpha) = -3$.

26.18. Вычислите:

1) $tg(\alpha + \frac{\pi}{4})$, если $cos2\alpha = \frac{1}{3}$ и $\pi < \alpha < \frac{5\pi}{4}$;

2) $tg\beta + ctg\beta$, если $cos2\beta = 0,8$ и $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$;

3) $tg^2(\frac{3\pi}{4} - \alpha)$, если $sin2\alpha = -\frac{1}{3}$;

4) $ctg^2(\frac{\pi}{4} + \beta)$, если $sin2\beta = 0,25$;

5) $cos2\alpha$, если $\frac{cos\alpha - 2sin\alpha}{sin\alpha - 2cos\alpha} = -0,5$;

6) $sin2\alpha$, если $\frac{cos\alpha + 2sin\alpha}{2sin\alpha - 3cos\alpha} = -2$.

1) tg(α + π/4), если cos2α = 1/3 и π < α < 5π/4;

Для вычисления тангенса суммы воспользуемся формулой $tg(x+y) = \frac{tgx + tgy}{1 - tgx \cdot tgy}$. В нашем случае $x = \alpha$ и $y = \frac{\pi}{4}$.

Так как $tg\frac{\pi}{4} = 1$, формула принимает вид:

$tg(\alpha + \frac{\pi}{4}) = \frac{tg\alpha + tg\frac{\pi}{4}}{1 - tg\alpha \cdot tg\frac{\pi}{4}} = \frac{tg\alpha + 1}{1 - tg\alpha}$.

Теперь нам нужно найти значение $tg\alpha$. Используем формулу, связывающую $cos2\alpha$ и $tg\alpha$:

$cos2\alpha = \frac{1 - tg^2\alpha}{1 + tg^2\alpha}$.

Подставим известное значение $cos2\alpha = \frac{1}{3}$:

$\frac{1}{3} = \frac{1 - tg^2\alpha}{1 + tg^2\alpha}$

$1 \cdot (1 + tg^2\alpha) = 3 \cdot (1 - tg^2\alpha)$

$1 + tg^2\alpha = 3 - 3tg^2\alpha$

$4tg^2\alpha = 2$

$tg^2\alpha = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

По условию, угол $\alpha$ находится в интервале $\pi < \alpha < \frac{5\pi}{4}$, что соответствует третьей четверти. В третьей четверти тангенс положителен.

Следовательно, $tg\alpha = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Подставим найденное значение $tg\alpha$ в выражение для $tg(\alpha + \frac{\pi}{4})$:

$tg(\alpha + \frac{\pi}{4}) = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} + 1}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\frac{\sqrt{2} + 2}{2}}{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}} = \frac{2 + \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(2 + \sqrt{2})$:

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}} \cdot \frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}} = \frac{(2 + \sqrt{2})^2}{2^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{4 + 4\sqrt{2} + 2}{4 - 2} = \frac{6 + 4\sqrt{2}}{2} = 3 + 2\sqrt{2}$.

Ответ: $3 + 2\sqrt{2}$.

2) tgβ + ctgβ, если cos2β = 0,8 и π/2 < α < π;

(Предполагается, что в условии опечатка и имеется в виду $\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$)

Сначала упростим искомое выражение:

$tg\beta + ctg\beta = \frac{sin\beta}{cos\beta} + \frac{cos\beta}{sin\beta} = \frac{sin^2\beta + cos^2\beta}{sin\beta \cdot cos\beta}$.

Используя основное тригонометрическое тождество $sin^2\beta + cos^2\beta = 1$ и формулу синуса двойного угла $sin2\beta = 2sin\beta cos\beta$, получаем:

$tg\beta + ctg\beta = \frac{1}{\frac{1}{2}sin2\beta} = \frac{2}{sin2\beta}$.

Теперь найдем $sin2\beta$, зная, что $cos2\beta = 0,8$. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:

$sin^2(2\beta) + cos^2(2\beta) = 1$

$sin^2(2\beta) = 1 - cos^2(2\beta) = 1 - (0,8)^2 = 1 - 0,64 = 0,36$.

Определим знак $sin2\beta$. По условию $\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$. Умножим неравенство на 2, чтобы определить четверть для угла $2\beta$:

$\pi < 2\beta < 2\pi$.

Этот диапазон соответствует третьей и четвертой четвертям, где синус отрицателен. Значит, $sin2\beta = -\sqrt{0,36} = -0,6$.

Подставим это значение в наше выражение:

$tg\beta + ctg\beta = \frac{2}{sin2\beta} = \frac{2}{-0,6} = \frac{2}{-\frac{6}{10}} = -\frac{20}{6} = -\frac{10}{3}$.

Ответ: $-\frac{10}{3}$.

3) tg²(3π/4 - α), если sin2α = -1/3;

Для решения этой задачи воспользуемся связью тангенса и косинуса двойного угла. Пусть $x = \frac{3\pi}{4} - \alpha$. Тогда нам нужно найти $tg^2x$.

Рассмотрим $cos(2x) = cos(2(\frac{3\pi}{4} - \alpha)) = cos(\frac{3\pi}{2} - 2\alpha)$.

По формуле приведения, $cos(\frac{3\pi}{2} - 2\alpha) = -sin(2\alpha)$.

Поскольку $sin2\alpha = -\frac{1}{3}$, получаем:

$cos(2(\frac{3\pi}{4} - \alpha)) = -(-\frac{1}{3}) = \frac{1}{3}$.

Теперь используем формулу косинуса двойного угла через тангенс: $cos(2x) = \frac{1 - tg^2x}{1 + tg^2x}$.

Пусть $Y = tg^2(\frac{3\pi}{4} - \alpha)$. Тогда:

$\frac{1}{3} = \frac{1 - Y}{1 + Y}$

$1 \cdot (1 + Y) = 3 \cdot (1 - Y)$

$1 + Y = 3 - 3Y$

$4Y = 2$

$Y = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Следовательно, $tg^2(\frac{3\pi}{4} - \alpha) = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

4) ctg²(π/4 + β), если sin2β = 0,25;

Решение аналогично предыдущей задаче. Пусть $x = \frac{\pi}{4} + \beta$. Нам нужно найти $ctg^2x = \frac{1}{tg^2x}$.

Найдем сначала $tg^2x$. Рассмотрим $cos(2x) = cos(2(\frac{\pi}{4} + \beta)) = cos(\frac{\pi}{2} + 2\beta)$.

По формуле приведения, $cos(\frac{\pi}{2} + 2\beta) = -sin(2\beta)$.

Поскольку $sin2\beta = 0,25 = \frac{1}{4}$, получаем:

$cos(2(\frac{\pi}{4} + \beta)) = -0,25 = -\frac{1}{4}$.

Используем формулу $cos(2x) = \frac{1 - tg^2x}{1 + tg^2x}$. Пусть $T = tg^2(\frac{\pi}{4} + \beta)$.

$-\frac{1}{4} = \frac{1 - T}{1 + T}$

$-1 \cdot (1 + T) = 4 \cdot (1 - T)$

$-1 - T = 4 - 4T$

$3T = 5$

$T = \frac{5}{3}$.

Итак, $tg^2(\frac{\pi}{4} + \beta) = \frac{5}{3}$.

Тогда $ctg^2(\frac{\pi}{4} + \beta) = \frac{1}{tg^2(\frac{\pi}{4} + \beta)} = \frac{1}{5/3} = \frac{3}{5}$.

Ответ: $\frac{3}{5}$.

5) cos2α, если (cosα - 2sinα)/(sinα - 2cosα) = -0,5;

Из данного уравнения найдем значение $tg\alpha$.

$\frac{cos\alpha - 2sin\alpha}{sin\alpha - 2cos\alpha} = -0,5 = -\frac{1}{2}$

$2(cos\alpha - 2sin\alpha) = -1(sin\alpha - 2cos\alpha)$

$2cos\alpha - 4sin\alpha = -sin\alpha + 2cos\alpha$

$-4sin\alpha = -sin\alpha$

$3sin\alpha = 0$

$sin\alpha = 0$.

Если $sin\alpha = 0$, то $tg\alpha = 0$ (при этом $cos\alpha = \pm 1 \neq 0$).

Теперь вычислим $cos2\alpha$ по формуле, использующей тангенс:

$cos2\alpha = \frac{1 - tg^2\alpha}{1 + tg^2\alpha} = \frac{1 - 0^2}{1 + 0^2} = \frac{1}{1} = 1$.

Ответ: $1$.

6) sin2α, если (cosα + 2sinα)/(2sinα - 3cosα) = -2.

Из данного уравнения найдем значение $tg\alpha$.

$\frac{cos\alpha + 2sin\alpha}{2sin\alpha - 3cos\alpha} = -2$

$cos\alpha + 2sin\alpha = -2(2sin\alpha - 3cos\alpha)$

$cos\alpha + 2sin\alpha = -4sin\alpha + 6cos\alpha$

Сгруппируем слагаемые с синусом и косинусом:

$2sin\alpha + 4sin\alpha = 6cos\alpha - cos\alpha$

$6sin\alpha = 5cos\alpha$

Разделим обе части на $cos\alpha$ (это возможно, так как если $cos\alpha=0$, то и $sin\alpha=0$, что противоречит основному тригонометрическому тождеству):

$\frac{6sin\alpha}{cos\alpha} = 5$

$6tg\alpha = 5$

$tg\alpha = \frac{5}{6}$.

Теперь вычислим $sin2\alpha$ по формуле, использующей тангенс:

$sin2\alpha = \frac{2tg\alpha}{1 + tg^2\alpha} = \frac{2 \cdot \frac{5}{6}}{1 + (\frac{5}{6})^2} = \frac{\frac{10}{6}}{1 + \frac{25}{36}} = \frac{\frac{5}{3}}{\frac{36}{36} + \frac{25}{36}} = \frac{\frac{5}{3}}{\frac{61}{36}}$.

$\sin2\alpha = \frac{5}{3} \cdot \frac{36}{61} = \frac{5 \cdot 12}{61} = \frac{60}{61}$.

Ответ: $\frac{60}{61}$.

26.19. Упростите выражение:

1) $\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos\alpha}$

2) $\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sin\alpha}$

3) $\sqrt{\frac{1 + \cos4\alpha}{2}}$

4) $\sqrt{\frac{1 - \cos6\alpha}{8}}$

5) $\sqrt{2 + \sqrt{2 + 2\cos4\alpha}}$, если $0 \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$.

1)

Для упрощения выражения $\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos\alpha}$ вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки под корнем:

$\sqrt{\frac{1}{2}(1 - \cos\alpha)}$

Воспользуемся формулой понижения степени для синуса (формулой половинного угла): $1 - \cos\alpha = 2\sin^2\frac{\alpha}{2}$.

Подставим это выражение под корень:

$\sqrt{\frac{1}{2} \cdot 2\sin^2\frac{\alpha}{2}} = \sqrt{\sin^2\frac{\alpha}{2}}$

По определению квадратного корня, $\sqrt{x^2} = |x|$. Следовательно:

$\sqrt{\sin^2\frac{\alpha}{2}} = |\sin\frac{\alpha}{2}|$

Поскольку область значений угла $\alpha$ не задана, необходимо оставить знак модуля.

Ответ: $|\sin\frac{\alpha}{2}|$.

2)

Рассмотрим выражение $\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sin\alpha}$. Вынесем $\frac{1}{2}$ за скобки:

$\sqrt{\frac{1}{2}(1 - \sin\alpha)}$

Используем формулу приведения $\sin\alpha = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$:

$\sqrt{\frac{1}{2}(1 - \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha))}$

Теперь применим формулу половинного угла $1 - \cos(x) = 2\sin^2\frac{x}{2}$, где $x = \frac{\pi}{2} - \alpha$. Тогда $\frac{x}{2} = \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}$.

$\sqrt{\frac{1}{2} \cdot 2\sin^2(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2})} = \sqrt{\sin^2(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2})}$

Извлекая корень, получаем модуль выражения:

$|\sin(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2})|$

Ответ: $|\sin(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2})|$.

3)

Упростим выражение $\sqrt{\frac{1 + \cos 4\alpha}{2}}$.

Это выражение соответствует правой части формулы понижения степени для косинуса: $\cos^2x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$.

В нашем случае $2x = 4\alpha$, откуда $x = 2\alpha$.

Следовательно, выражение под корнем равно $\cos^2(2\alpha)$:

$\sqrt{\frac{1 + \cos 4\alpha}{2}} = \sqrt{\cos^2(2\alpha)}$

Извлекая корень, получаем:

$|\cos(2\alpha)|$

Ответ: $|\cos(2\alpha)|$.

4)

Рассмотрим выражение $\sqrt{\frac{1 - \cos 6\alpha}{8}}$.

Преобразуем знаменатель: $8 = 4 \cdot 2$.

$\sqrt{\frac{1 - \cos 6\alpha}{4 \cdot 2}} = \sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{1 - \cos 6\alpha}{2}} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1 - \cos 6\alpha}{2}}$

Выражение под корнем $\frac{1 - \cos 6\alpha}{2}$ соответствует формуле понижения степени для синуса $\sin^2x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$.

В нашем случае $2x = 6\alpha$, откуда $x = 3\alpha$.

Получаем:

$\frac{1}{2}\sqrt{\sin^2(3\alpha)} = \frac{1}{2}|\sin(3\alpha)|$

Ответ: $\frac{1}{2}|\sin(3\alpha)|$.

5)

Упростим выражение $\sqrt{2 + \sqrt{2 + 2\cos 4\alpha}}$ при условии $0 \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$.

Начнем с внутреннего радикала: $\sqrt{2 + 2\cos 4\alpha}$.

$\sqrt{2(1 + \cos 4\alpha)} = \sqrt{2 \cdot 2\cos^2(2\alpha)} = \sqrt{4\cos^2(2\alpha)} = 2|\cos(2\alpha)|$

Теперь исходное выражение имеет вид:

$\sqrt{2 + 2|\cos(2\alpha)|}$

Рассмотрим знак $\cos(2\alpha)$ в зависимости от $\alpha$. Условие $0 \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$ означает, что $0 \le 2\alpha \le \pi$.

Разобьем этот промежуток на две части:

Случай 1: $0 \le \alpha \le \frac{\pi}{4}$.

В этом случае $0 \le 2\alpha \le \frac{\pi}{2}$, и $\cos(2\alpha) \ge 0$. Значит, $|\cos(2\alpha)| = \cos(2\alpha)$.

Выражение становится $\sqrt{2 + 2\cos(2\alpha)} = \sqrt{2(1 + \cos(2\alpha))} = \sqrt{2 \cdot 2\cos^2\alpha} = \sqrt{4\cos^2\alpha} = 2|\cos\alpha|$.

Так как при $0 \le \alpha \le \frac{\pi}{4}$ косинус неотрицателен, $|\cos\alpha| = \cos\alpha$.

Результат для этого случая: $2\cos\alpha$.

Случай 2: $\frac{\pi}{4} < \alpha \le \frac{\pi}{2}$.

В этом случае $\frac{\pi}{2} < 2\alpha \le \pi$, и $\cos(2\alpha) \le 0$. Значит, $|\cos(2\alpha)| = -\cos(2\alpha)$.

Выражение становится $\sqrt{2 - 2\cos(2\alpha)} = \sqrt{2(1 - \cos(2\alpha))} = \sqrt{2 \cdot 2\sin^2\alpha} = \sqrt{4\sin^2\alpha} = 2|\sin\alpha|$.

Так как при $\frac{\pi}{4} < \alpha \le \frac{\pi}{2}$ синус положителен, $|\sin\alpha| = \sin\alpha$.

Результат для этого случая: $2\sin\alpha$.

Ответ: $2\cos\alpha$, если $0 \le \alpha \le \frac{\pi}{4}$; $2\sin\alpha$, если $\frac{\pi}{4} < \alpha \le \frac{\pi}{2}$.

26.20. Выведите формулы:

1) $sin3\alpha = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha$;

2) $cos3\alpha = 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha$;

3) $tg3\alpha = \frac{3\operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}^3\alpha}{1 - 3\operatorname{tg}^2\alpha}$.

1) Для вывода формулы синуса тройного угла $sin3\alpha$ представим $3\alpha$ как сумму $2\alpha + \alpha$ и воспользуемся формулой синуса суммы углов: $sin(x+y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)$.
$sin3\alpha = sin(2\alpha + \alpha) = sin2\alpha \cdot cos\alpha + cos2\alpha \cdot sin\alpha$.
Теперь применим формулы двойного угла: $sin2\alpha = 2sin\alpha cos\alpha$ и $cos2\alpha = cos^2\alpha - sin^2\alpha$. Чтобы выразить все через $sin\alpha$, используем вариант формулы косинуса двойного угла $cos2\alpha = 1 - 2sin^2\alpha$.
Подставим эти формулы в наше выражение:
$sin3\alpha = (2sin\alpha cos\alpha) \cdot cos\alpha + (1 - 2sin^2\alpha) \cdot sin\alpha$.
Упростим полученное выражение:
$sin3\alpha = 2sin\alpha cos^2\alpha + sin\alpha - 2sin^3\alpha$.
Используем основное тригонометрическое тождество $cos^2\alpha = 1 - sin^2\alpha$, чтобы заменить $cos^2\alpha$:
$sin3\alpha = 2sin\alpha(1 - sin^2\alpha) + sin\alpha - 2sin^3\alpha$.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$sin3\alpha = 2sin\alpha - 2sin^3\alpha + sin\alpha - 2sin^3\alpha$.
$sin3\alpha = (2sin\alpha + sin\alpha) - (2sin^3\alpha + 2sin^3\alpha) = 3sin\alpha - 4sin^3\alpha$.
Таким образом, формула выведена.
Ответ: $sin3\alpha = 3sin\alpha - 4sin^3\alpha$.

2) Для вывода формулы косинуса тройного угла $cos3\alpha$ также представим $3\alpha$ как $2\alpha + \alpha$ и воспользуемся формулой косинуса суммы углов: $cos(x+y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)$.
$cos3\alpha = cos(2\alpha + \alpha) = cos2\alpha \cdot cos\alpha - sin2\alpha \cdot sin\alpha$.
Применим формулы двойного угла. Чтобы выразить все через $cos\alpha$, используем вариант формулы $cos2\alpha = 2cos^2\alpha - 1$. Формула синуса двойного угла: $sin2\alpha = 2sin\alpha cos\alpha$.
Подставим эти формулы:
$cos3\alpha = (2cos^2\alpha - 1) \cdot cos\alpha - (2sin\alpha cos\alpha) \cdot sin\alpha$.
Упростим выражение:
$cos3\alpha = 2cos^3\alpha - cos\alpha - 2sin^2\alpha cos\alpha$.
Используем основное тригонометрическое тождество $sin^2\alpha = 1 - cos^2\alpha$, чтобы заменить $sin^2\alpha$:
$cos3\alpha = 2cos^3\alpha - cos\alpha - 2(1 - cos^2\alpha)cos\alpha$.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$cos3\alpha = 2cos^3\alpha - cos\alpha - (2cos\alpha - 2cos^3\alpha)$.
$cos3\alpha = 2cos^3\alpha - cos\alpha - 2cos\alpha + 2cos^3\alpha$.
$cos3\alpha = (2cos^3\alpha + 2cos^3\alpha) - (cos\alpha + 2cos\alpha) = 4cos^3\alpha - 3cos\alpha$.
Таким образом, формула выведена.
Ответ: $cos3\alpha = 4cos^3\alpha - 3cos\alpha$.

3) Для вывода формулы тангенса тройного угла $tg3\alpha$ представим $3\alpha$ как $2\alpha + \alpha$ и воспользуемся формулой тангенса суммы углов: $tg(x+y) = \frac{tg(x) + tg(y)}{1 - tg(x)tg(y)}$.
$tg3\alpha = tg(2\alpha + \alpha) = \frac{tg2\alpha + tg\alpha}{1 - tg2\alpha \cdot tg\alpha}$.
Теперь применим формулу тангенса двойного угла: $tg2\alpha = \frac{2tg\alpha}{1 - tg^2\alpha}$.
Подставим эту формулу в числитель и знаменатель дроби.
Числитель: $tg2\alpha + tg\alpha = \frac{2tg\alpha}{1 - tg^2\alpha} + tg\alpha = \frac{2tg\alpha + tg\alpha(1-tg^2\alpha)}{1 - tg^2\alpha} = \frac{2tg\alpha + tg\alpha - tg^3\alpha}{1 - tg^2\alpha} = \frac{3tg\alpha - tg^3\alpha}{1 - tg^2\alpha}$.
Знаменатель: $1 - tg2\alpha \cdot tg\alpha = 1 - \frac{2tg\alpha}{1 - tg^2\alpha} \cdot tg\alpha = 1 - \frac{2tg^2\alpha}{1 - tg^2\alpha} = \frac{1 - tg^2\alpha - 2tg^2\alpha}{1 - tg^2\alpha} = \frac{1 - 3tg^2\alpha}{1 - tg^2\alpha}$.
Теперь разделим преобразованный числитель на преобразованный знаменатель:
$tg3\alpha = \frac{\frac{3tg\alpha - tg^3\alpha}{1 - tg^2\alpha}}{\frac{1 - 3tg^2\alpha}{1 - tg^2\alpha}}$.
Сократим общий знаменатель $(1 - tg^2\alpha)$:
$tg3\alpha = \frac{3tg\alpha - tg^3\alpha}{1 - 3tg^2\alpha}$.
Таким образом, формула выведена.
Ответ: $tg3\alpha = \frac{3tg\alpha - tg^3\alpha}{1 - 3tg^2\alpha}$.

26.21. Известно, что $tg\frac{\alpha}{2} = -2$. Найдите:

1) sin3a;

2) cos3a.

Для решения данной задачи мы сначала найдем значения $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$, используя формулы универсальной тригонометрической подстановки, которые связывают тригонометрические функции угла с тангенсом его половинного угла.

Формулы универсальной подстановки:

$\sin\alpha = \frac{2\tg\frac{\alpha}{2}}{1 + \tg^2\frac{\alpha}{2}}$

$\cos\alpha = \frac{1 - \tg^2\frac{\alpha}{2}}{1 + \tg^2\frac{\alpha}{2}}$

Нам дано, что $\tg\frac{\alpha}{2} = -2$. Подставим это значение в формулы, чтобы найти $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$.

Вычисление $\sin\alpha$:

$\sin\alpha = \frac{2 \cdot (-2)}{1 + (-2)^2} = \frac{-4}{1 + 4} = -\frac{4}{5}$

Вычисление $\cos\alpha$:

$\cos\alpha = \frac{1 - (-2)^2}{1 + (-2)^2} = \frac{1 - 4}{1 + 4} = -\frac{3}{5}$

Теперь, когда мы знаем значения $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$, мы можем найти $\sin(3\alpha)$ и $\cos(3\alpha)$ с помощью формул тройного угла.

1) sin3α

Используем формулу синуса тройного угла: $\sin(3\alpha) = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha$.

Подставляем значение $\sin\alpha = -\frac{4}{5}$:

$\sin(3\alpha) = 3 \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) - 4 \cdot \left(-\frac{4}{5}\right)^3 = -\frac{12}{5} - 4 \cdot \left(-\frac{64}{125}\right)$

$\sin(3\alpha) = -\frac{12}{5} + \frac{256}{125}$

Приводим дроби к общему знаменателю 125:

$\sin(3\alpha) = -\frac{12 \cdot 25}{5 \cdot 25} + \frac{256}{125} = -\frac{300}{125} + \frac{256}{125} = \frac{-300 + 256}{125} = -\frac{44}{125}$

Ответ: $-\frac{44}{125}$

2) cos3α

Используем формулу косинуса тройного угла: $\cos(3\alpha) = 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha$.

Подставляем значение $\cos\alpha = -\frac{3}{5}$:

$\cos(3\alpha) = 4 \cdot \left(-\frac{3}{5}\right)^3 - 3 \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) = 4 \cdot \left(-\frac{27}{125}\right) + \frac{9}{5}$

$\cos(3\alpha) = -\frac{108}{125} + \frac{9}{5}$

Приводим дроби к общему знаменателю 125:

$\cos(3\alpha) = -\frac{108}{125} + \frac{9 \cdot 25}{5 \cdot 25} = -\frac{108}{125} + \frac{225}{125} = \frac{-108 + 225}{125} = \frac{117}{125}$

Ответ: $\frac{117}{125}$

26.22. Вычислите:

1) $cos20^\circ \cdot cos40^\circ \cdot cos80^\circ$;

2) $sin^2 10^\circ \cdot sin^2 50^\circ \cdot sin^2 70^\circ$;

3) $cos20^\circ \cdot cos40^\circ \cdot cos60^\circ \cdot cos80^\circ$;

4) $cos \frac{\pi}{5} \cdot cos \frac{2\pi}{5}$;

5) $sin \frac{\pi}{10} \cdot sin \frac{3\pi}{10}$.

1) $ \cos20^\circ \cdot \cos40^\circ \cdot \cos80^\circ $

Для вычисления этого произведения воспользуемся методом, основанным на формуле синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha $. Домножим и разделим исходное выражение на $ 2\sin20^\circ $ (это возможно, так как $ \sin20^\circ \neq 0 $).

$ \cos20^\circ \cdot \cos40^\circ \cdot \cos80^\circ = \frac{2\sin20^\circ\cos20^\circ \cdot \cos40^\circ \cdot \cos80^\circ}{2\sin20^\circ} $

Применяя формулу синуса двойного угла к $ 2\sin20^\circ\cos20^\circ $, получаем $ \sin(2 \cdot 20^\circ) = \sin40^\circ $:

$ \frac{\sin40^\circ \cdot \cos40^\circ \cdot \cos80^\circ}{2\sin20^\circ} $

Снова домножим числитель и знаменатель на 2, чтобы применить формулу двойного угла к $ \sin40^\circ\cos40^\circ $:

$ \frac{2\sin40^\circ\cos40^\circ \cdot \cos80^\circ}{2 \cdot 2\sin20^\circ} = \frac{\sin(2 \cdot 40^\circ) \cdot \cos80^\circ}{4\sin20^\circ} = \frac{\sin80^\circ \cdot \cos80^\circ}{4\sin20^\circ} $

Повторим операцию еще раз:

$ \frac{2\sin80^\circ\cos80^\circ}{2 \cdot 4\sin20^\circ} = \frac{\sin(2 \cdot 80^\circ)}{8\sin20^\circ} = \frac{\sin160^\circ}{8\sin20^\circ} $

Теперь воспользуемся формулой приведения $ \sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha $:

$ \sin160^\circ = \sin(180^\circ - 20^\circ) = \sin20^\circ $

Подставим это значение обратно в выражение:

$ \frac{\sin20^\circ}{8\sin20^\circ} = \frac{1}{8} $

Ответ: $ \frac{1}{8} $.

2) $ \sin^2 10^\circ \cdot \sin^2 50^\circ \cdot \sin^2 70^\circ $

Сначала найдем значение выражения $ P = \sin10^\circ \cdot \sin50^\circ \cdot \sin70^\circ $, а затем возведем результат в квадрат. Используем формулу приведения $ \sin\alpha = \cos(90^\circ - \alpha) $.

$ \sin10^\circ = \cos(90^\circ - 10^\circ) = \cos80^\circ $

$ \sin50^\circ = \cos(90^\circ - 50^\circ) = \cos40^\circ $

$ \sin70^\circ = \cos(90^\circ - 70^\circ) = \cos20^\circ $

Тогда произведение $P$ принимает вид:

$ P = \cos80^\circ \cdot \cos40^\circ \cdot \cos20^\circ $

Это то же самое выражение, что и в пункте 1. Следовательно, $ P = \frac{1}{8} $.

Исходное выражение равно квадрату этого значения:

$ \sin^2 10^\circ \cdot \sin^2 50^\circ \cdot \sin^2 70^\circ = P^2 = \left(\frac{1}{8}\right)^2 = \frac{1}{64} $

Ответ: $ \frac{1}{64} $.

3) $ \cos20^\circ \cdot \cos40^\circ \cdot \cos60^\circ \cdot \cos80^\circ $

Это выражение можно перегруппировать следующим образом:

$ (\cos20^\circ \cdot \cos40^\circ \cdot \cos80^\circ) \cdot \cos60^\circ $

Из решения пункта 1 мы знаем, что значение выражения в скобках равно $ \frac{1}{8} $.

Значение $ \cos60^\circ $ является табличным: $ \cos60^\circ = \frac{1}{2} $.

Теперь перемножим полученные значения:

$ \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{16} $

Ответ: $ \frac{1}{16} $.

4) $ \cos\frac{\pi}{5} \cdot \cos\frac{2\pi}{5} $

Для вычисления этого произведения используем тот же метод, что и в пункте 1. Домножим и разделим выражение на $ 2\sin\frac{\pi}{5} $.

$ \cos\frac{\pi}{5} \cdot \cos\frac{2\pi}{5} = \frac{2\sin\frac{\pi}{5}\cos\frac{\pi}{5} \cdot \cos\frac{2\pi}{5}}{2\sin\frac{\pi}{5}} $

Применим формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha $:

$ \frac{\sin(2 \cdot \frac{\pi}{5}) \cdot \cos\frac{2\pi}{5}}{2\sin\frac{\pi}{5}} = \frac{\sin\frac{2\pi}{5} \cdot \cos\frac{2\pi}{5}}{2\sin\frac{\pi}{5}} $

Снова домножим числитель и знаменатель на 2:

$ \frac{2\sin\frac{2\pi}{5}\cos\frac{2\pi}{5}}{2 \cdot 2\sin\frac{\pi}{5}} = \frac{\sin(2 \cdot \frac{2\pi}{5})}{4\sin\frac{\pi}{5}} = \frac{\sin\frac{4\pi}{5}}{4\sin\frac{\pi}{5}} $

Используем формулу приведения $ \sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha $:

$ \sin\frac{4\pi}{5} = \sin(\pi - \frac{\pi}{5}) = \sin\frac{\pi}{5} $

Подставим результат в наше выражение:

$ \frac{\sin\frac{\pi}{5}}{4\sin\frac{\pi}{5}} = \frac{1}{4} $

Ответ: $ \frac{1}{4} $.

5) $ \sin\frac{\pi}{10} \cdot \sin\frac{3\pi}{10} $

Для удобства переведем радианы в градусы: $ \frac{\pi}{10} = 18^\circ $, $ \frac{3\pi}{10} = 54^\circ $. Выражение принимает вид $ \sin18^\circ \cdot \sin54^\circ $.

Воспользуемся формулой приведения $ \sin\alpha = \cos(90^\circ - \alpha) $:

$ \sin54^\circ = \cos(90^\circ - 54^\circ) = \cos36^\circ $

Наше произведение становится $ \sin18^\circ \cdot \cos36^\circ $. Домножим и разделим его на $ 2\cos18^\circ $.

$ \frac{2\sin18^\circ\cos18^\circ \cdot \cos36^\circ}{2\cos18^\circ} $

Применим формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha $:

$ \frac{\sin(2 \cdot 18^\circ) \cdot \cos36^\circ}{2\cos18^\circ} = \frac{\sin36^\circ \cdot \cos36^\circ}{2\cos18^\circ} $

Снова домножим числитель и знаменатель на 2:

$ \frac{2\sin36^\circ\cos36^\circ}{2 \cdot 2\cos18^\circ} = \frac{\sin(2 \cdot 36^\circ)}{4\cos18^\circ} = \frac{\sin72^\circ}{4\cos18^\circ} $

Снова воспользуемся формулой приведения $ \sin\alpha = \cos(90^\circ - \alpha) $:

$ \sin72^\circ = \cos(90^\circ - 72^\circ) = \cos18^\circ $

Подставим это в выражение:

$ \frac{\cos18^\circ}{4\cos18^\circ} = \frac{1}{4} $

Ответ: $ \frac{1}{4} $.