Страница 70, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

13. Решите систему уравнений $ \begin{cases} x^3 \cdot y^5 = 8, \\ x^5 \cdot y^3 = 32: \end{cases} $

A) $ \{ (2; 1), (-2; -1) \} $

B) $ \{ (1; 1), (0; 1) \} $

C) $ \{ (1; -1), (1; 1) \} $

D) $ \{ (0; -2), (-2; 0) \} $

E) $ \{ (-1; 2), (2; -1) \} $

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^3 \cdot y^5 = 8 \\ x^5 \cdot y^3 = 32 \end{cases} $

Прежде всего заметим, что $x \neq 0$ и $y \neq 0$, поскольку в противном случае левые части уравнений обращались бы в ноль, что противоречит правым частям.

Для решения этой системы удобно использовать методы умножения и деления уравнений.

1. Умножение уравнений. Умножим левые и правые части уравнений друг на друга:

$(x^3 \cdot y^5) \cdot (x^5 \cdot y^3) = 8 \cdot 32$

Применяя свойство степеней ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$), получаем:

$x^{3+5} \cdot y^{5+3} = 256$

$x^8 \cdot y^8 = 256$

Представим это как степень произведения:

$(xy)^8 = 2^8$

Из этого уравнения следует, что основание степени может быть положительным или отрицательным: $xy = 2$ или $xy = -2$.

2. Деление уравнений. Разделим второе уравнение на первое:

$\frac{x^5 \cdot y^3}{x^3 \cdot y^5} = \frac{32}{8}$

Применяя свойство степеней ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$), получаем:

$x^{5-3} \cdot y^{3-5} = 4$

$x^2 \cdot y^{-2} = 4$

$\frac{x^2}{y^2} = 4$, или $(\frac{x}{y})^2 = 4$

Из этого уравнения также следует два возможных варианта: $\frac{x}{y} = 2$ или $\frac{x}{y} = -2$.

Теперь у нас есть четыре возможные системы, которые нужно решить.

Случай 1: $ \begin{cases} xy = 2 \\ \frac{x}{y} = 2 \end{cases} $
Из второго уравнения выражаем $x = 2y$. Подставляем в первое: $(2y)y = 2 \implies 2y^2 = 2 \implies y^2 = 1$. Отсюда $y_1 = 1$, $y_2 = -1$. Находим соответствующие значения $x$: Если $y_1 = 1$, то $x_1 = 2 \cdot 1 = 2$. Решение $(2; 1)$. Если $y_2 = -1$, то $x_2 = 2 \cdot (-1) = -2$. Решение $(-2; -1)$. Проверка для $(2; 1)$: $2^3 \cdot 1^5 = 8$, $2^5 \cdot 1^3 = 32$. Верно. Проверка для $(-2; -1)$: $(-2)^3 \cdot (-1)^5 = (-8)(-1) = 8$, $(-2)^5 \cdot (-1)^3 = (-32)(-1) = 32$. Верно.

Случай 2: $ \begin{cases} xy = 2 \\ \frac{x}{y} = -2 \end{cases} $
Из второго уравнения $x = -2y$. Подставляем в первое: $(-2y)y = 2 \implies -2y^2 = 2 \implies y^2 = -1$. Эта система не имеет решений в действительных числах.

Случай 3: $ \begin{cases} xy = -2 \\ \frac{x}{y} = 2 \end{cases} $
Из второго уравнения $x = 2y$. Подставляем в первое: $(2y)y = -2 \implies 2y^2 = -2 \implies y^2 = -1$. Эта система также не имеет решений в действительных числах.

Случай 4: $ \begin{cases} xy = -2 \\ \frac{x}{y} = -2 \end{cases} $
Из второго уравнения $x = -2y$. Подставляем в первое: $(-2y)y = -2 \implies -2y^2 = -2 \implies y^2 = 1$. Отсюда $y_3 = 1$, $y_4 = -1$. Находим соответствующие значения $x$: Если $y_3 = 1$, то $x_3 = -2 \cdot 1 = -2$. Потенциальное решение $(-2; 1)$. Если $y_4 = -1$, то $x_4 = -2 \cdot (-1) = 2$. Потенциальное решение $(2; -1)$. Проверим эти пары в исходном первом уравнении $x^3y^5 = 8$: Для $(-2; 1)$: $(-2)^3 \cdot 1^5 = -8 \neq 8$. Не является решением. Для $(2; -1)$: $2^3 \cdot (-1)^5 = 8 \cdot (-1) = -8 \neq 8$. Не является решением.

Итак, единственными решениями системы являются пары $(2; 1)$ и $(-2; -1)$. Сравнивая с предложенными вариантами, видим, что это соответствует варианту A.

Ответ: A) $\{(2; 1), (-2; -1)\}$

14. Решите систему уравнений $\begin{cases} x + y = -1, \\ x^2 + y^2 = 1: \end{cases}$

A) $\{(-1; 0), (0; -1)\}$

B) $\{(1; 0), (0; 1)\}$

C) $\{(-2; 0), (0; -2)\}$

D) $\{(1; 1), (-1; 1)\}$

E) $\{(0; \frac{1}{2}), (\frac{1}{2}; 0)\}$

Для решения данной системы уравнений воспользуемся методом подстановки. Исходная система:

$ \begin{cases} x + y = -1, \\ x^2 + y^2 = 1 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим переменную $y$ через $x$:

$y = -1 - x$

Теперь подставим это выражение для $y$ во второе уравнение системы:

$x^2 + (-1 - x)^2 = 1$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Обратите внимание, что $(-1-x)^2 = (-(1+x))^2 = (1+x)^2$.

$x^2 + (1^2 + 2 \cdot 1 \cdot x + x^2) = 1$

$x^2 + 1 + 2x + x^2 = 1$

Приведем подобные слагаемые:

$2x^2 + 2x + 1 = 1$

Перенесем 1 из правой части в левую:

$2x^2 + 2x = 0$

Вынесем общий множитель $2x$ за скобки:

$2x(x + 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных значения для $x$:

1) $2x = 0$, что дает $x_1 = 0$.

2) $x + 1 = 0$, что дает $x_2 = -1$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого найденного значения $x$, подставив их в выражение $y = -1 - x$.

Если $x_1 = 0$, то:

$y_1 = -1 - 0 = -1$

Таким образом, первая пара решений – это $(0; -1)$.

Если $x_2 = -1$, то:

$y_2 = -1 - (-1) = -1 + 1 = 0$

Таким образом, вторая пара решений – это $(-1; 0)$.

Итак, система имеет два решения: $(-1; 0)$ и $(0; -1)$. Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, мы видим, что он соответствует варианту A.

Ответ: A) $\{(-1; 0), (0; -1)\}$

15. Решите систему уравнений $\begin{cases} xy + x = -4, \\ x - y = 6: \end{cases}$

A) ${(-1;5), (5; \frac{1}{2})};$

B) $\{(5; -1), (-1; -5)\};$

C) $\{(1; -5), (4; -2)\};$

D) $\{(2; 4), (-5; -1)\};$

E) $\{(-2; -4), (5; 1)\}.$

Дано:

Система уравнений: $ \begin{cases} xy + x = -4 \\ x - y = 6 \end{cases} $

Найти:

Решения системы уравнений $(x, y)$.

Решение:

Для решения данной системы уравнений применим метод подстановки. Сначала выразим одну переменную через другую из второго, более простого, уравнения.

1. Из второго уравнения $x - y = 6$ выразим переменную $x$:

$x = y + 6$

2. Теперь подставим полученное выражение для $x$ в первое уравнение системы $xy + x = -4$:

$(y + 6)y + (y + 6) = -4$

3. Раскроем скобки и приведём уравнение к стандартному квадратному виду $ay^2 + by + c = 0$:

$y^2 + 6y + y + 6 = -4$

$y^2 + 7y + 6 + 4 = 0$

$y^2 + 7y + 10 = 0$

4. Решим полученное квадратное уравнение. Для этого найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a=1$, $b=7$, $c=10$:

$D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$y_1 = \frac{-7 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 + 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

$y_2 = \frac{-7 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 - 3}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

5. Мы нашли два возможных значения для $y$. Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого из них, используя ранее полученное выражение $x = y + 6$.

Для $y_1 = -2$:

$x_1 = -2 + 6 = 4$

Таким образом, первая пара решений: $(4; -2)$.

Для $y_2 = -5$:

$x_2 = -5 + 6 = 1$

Таким образом, вторая пара решений: $(1; -5)$.

Множество решений системы уравнений: $\{(1; -5), (4; -2)\}$.

Сравнив полученный результат с предложенными вариантами, мы видим, что он соответствует варианту C.

Ответ: C) $\{(1; -5), (4; -2)\}$.

16. Решите систему уравнений $ \begin{cases} x + y = 14, \\ \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = 2\frac{1}{12}. \end{cases} $

A) $\{(6; 8), (8; 6)\};$

B) $\{(10; 4), (4; 10)\};$

C) $\{(-18; 4), (4; -18)\};$

D) $\{(-6; -8), (-8; -6)\};$

E) $\{(4; 2), (-2; -4)\}.$

Для решения данной системы уравнений $ \begin{cases} x + y = 14 \\ \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = 2\frac{1}{12} \end{cases} $ сначала преобразуем второе уравнение. Отметим, что из-за наличия дробей в уравнении $x \neq 0$ и $y \neq 0$.

Приведем дроби в левой части второго уравнения к общему знаменателю $xy$ и представим смешанное число в правой части в виде неправильной дроби:

$\frac{x^2+y^2}{xy} = \frac{2 \cdot 12 + 1}{12}$

$\frac{x^2+y^2}{xy} = \frac{25}{12}$

Теперь воспользуемся тождеством полного квадрата $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$, из которого можно выразить $x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy$. Из первого уравнения системы известно, что $x+y=14$. Подставим это значение:

$x^2+y^2 = 14^2 - 2xy = 196 - 2xy$.

Подставим полученное выражение в преобразованное второе уравнение:

$\frac{196 - 2xy}{xy} = \frac{25}{12}$

Решим это уравнение относительно произведения $xy$. Используя основное свойство пропорции, получаем:

$12(196 - 2xy) = 25xy$

$2352 - 24xy = 25xy$

$2352 = 49xy$

$xy = \frac{2352}{49} = 48$.

Таким образом, исходная система эквивалентна следующей системе:

$ \begin{cases} x + y = 14 \\ xy = 48 \end{cases} $

Согласно теореме, обратной теореме Виета, числа $x$ и $y$ являются корнями приведенного квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$.

$t^2 - 14t + 48 = 0$.

Найдем корни этого уравнения. По теореме Виета, сумма корней равна 14, а их произведение равно 48. Легко подобрать корни: это числа 6 и 8, так как $6+8=14$ и $6 \cdot 8 = 48$.

Следовательно, корнями уравнения являются $t_1 = 6$ и $t_2 = 8$.

Это означает, что решениями системы являются пары чисел $(6; 8)$ и $(8; 6)$.

Ответ: A) $\{(6; 8), (8; 6)\}$.

17. Определите, на каком из рисунков изображено графическое решение системы уравнений $ \begin{cases} (x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25, \\ y = x^2 - 4: \end{cases} $

A) B) C) D)

Дано:

Система уравнений: $ \begin{cases} (x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25 \\ y = x^2 - 4 \end{cases} $

Найти:

Рисунок, на котором изображено графическое решение данной системы уравнений.

Решение:

Для того чтобы определить правильный график, необходимо проанализировать каждое уравнение системы и определить параметры соответствующих геометрических фигур.

Первое уравнение, $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$, является уравнением окружности в стандартной форме $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$. Из этого уравнения можно определить координаты центра $(h, k)$ и радиус $r$. В нашем случае $h = 3$ и $k = -2$, значит, центр окружности находится в точке $(3, -2)$. Квадрат радиуса $r^2 = 25$, следовательно, радиус $r = \sqrt{25} = 5$.

Второе уравнение, $y = x^2 - 4$, является уравнением параболы. Так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительное число), ветви параболы направлены вверх. Координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$ можно найти по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$. Для уравнения $y = x^2 - 4$ имеем $a=1, b=0, c=-4$. $x_v = -\frac{0}{2 \cdot 1} = 0$. Подставив $x_v = 0$ в уравнение параболы, найдем $y_v$: $y_v = 0^2 - 4 = -4$. Следовательно, вершина параболы находится в точке $(0, -4)$.

Теперь сопоставим полученные данные с предложенными графиками. Нам необходимо найти график, на котором изображена окружность с центром в точке $(3, -2)$ и радиусом $5$, а также парабола с вершиной в точке $(0, -4)$ и ветвями, направленными вверх.

- Рисунок A: Центр окружности находится в первой координатной четверти (x>0, y>0), а не в точке $(3, -2)$. Неверно.

- Рисунок B: Центр окружности находится во второй координатной четверти (x<0, y>0). Неверно.

- Рисунок C: Центр окружности находится в начале координат $(0, 0)$. Неверно.

- Рисунок D: Центр окружности находится в точке $(3, -2)$. Радиус равен 5 (например, расстояние от центра $(3, -2)$ до точки на окружности $(8, -2)$ равно $8-3=5$). Вершина параболы находится в точке $(0, -4)$, и ее ветви направлены вверх. Этот график полностью соответствует результатам нашего анализа.

Ответ: D