Страница 75, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

26.23. Докажите тождество:

1) $4\sin^3 \alpha \cdot \cos3\beta + 4\cos^3 \beta \cdot \sin3\beta = 3\sin4\beta;$

2) $\frac{\cos^3 \beta - \cos3\beta}{\sin^3 \beta + \sin3\beta} = \text{tg}\beta.$

1)Предположим, что в условии задачи имеется опечатка, и вместо $4\sin^3\alpha$ должно быть $4\sin^3\beta$. В этом случае тождество, которое нужно доказать, принимает вид:
$4\sin^3\beta \cdot \cos3\beta + 4\cos^3\beta \cdot \sin3\beta = 3\sin4\beta$.
Для доказательства преобразуем левую часть равенства, используя формулы синуса и косинуса тройного угла:
$\sin3\beta = 3\sin\beta - 4\sin^3\beta$
$\cos3\beta = 4\cos^3\beta - 3\cos\beta$
Из этих формул выразим $4\sin^3\beta$ и $4\cos^3\beta$:
$4\sin^3\beta = 3\sin\beta - \sin3\beta$
$4\cos^3\beta = 3\cos\beta + \cos3\beta$
Подставим полученные выражения в левую часть доказываемого тождества:
Левая часть = $(3\sin\beta - \sin3\beta)\cos3\beta + (3\cos\beta + \cos3\beta)\sin3\beta$
Раскроем скобки:
= $3\sin\beta\cos3\beta - \sin3\beta\cos3\beta + 3\cos\beta\sin3\beta + \cos3\beta\sin3\beta$
Приведем подобные слагаемые:
= $3\sin\beta\cos3\beta + 3\cos\beta\sin3\beta$
Вынесем общий множитель 3 за скобки:
= $3(\sin\beta\cos3\beta + \cos\beta\sin3\beta)$
Выражение в скобках является формулой синуса суммы двух углов $\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$, где $x=\beta$ и $y=3\beta$:
= $3\sin(\beta + 3\beta) = 3\sin(4\beta)$
Таким образом, левая часть равна правой части: $3\sin(4\beta) = 3\sin(4\beta)$. Тождество доказано.
Ответ: при условии, что в задании опечатка и $\alpha = \beta$, тождество доказано.

2)Для доказательства тождества $\frac{\cos^3\beta - \cos3\beta}{\sin^3\beta + \sin3\beta} = \text{tg}\beta$ преобразуем левую часть.
Воспользуемся формулами косинуса и синуса тройного угла:
$\cos3\beta = 4\cos^3\beta - 3\cos\beta$
$\sin3\beta = 3\sin\beta - 4\sin^3\beta$
Подставим эти формулы в числитель и знаменатель дроби.
Преобразуем числитель:
$\cos^3\beta - \cos3\beta = \cos^3\beta - (4\cos^3\beta - 3\cos\beta) = \cos^3\beta - 4\cos^3\beta + 3\cos\beta = 3\cos\beta - 3\cos^3\beta$
Вынесем общий множитель $3\cos\beta$ за скобки:
$3\cos\beta(1 - \cos^2\beta)$
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\beta + \cos^2\beta = 1$, заменим $1 - \cos^2\beta$ на $\sin^2\beta$:
Числитель = $3\cos\beta\sin^2\beta$
Теперь преобразуем знаменатель:
$\sin^3\beta + \sin3\beta = \sin^3\beta + (3\sin\beta - 4\sin^3\beta) = \sin^3\beta + 3\sin\beta - 4\sin^3\beta = 3\sin\beta - 3\sin^3\beta$
Вынесем общий множитель $3\sin\beta$ за скобки:
$3\sin\beta(1 - \sin^2\beta)$
Используя основное тригонометрическое тождество, заменим $1 - \sin^2\beta$ на $\cos^2\beta$:
Знаменатель = $3\sin\beta\cos^2\beta$
Теперь подставим преобразованные числитель и знаменатель обратно в дробь:
$\frac{3\cos\beta\sin^2\beta}{3\sin\beta\cos^2\beta}$
Сократим дробь на общий множитель $3\sin\beta\cos\beta$ (при условии, что $\sin\beta \neq 0$ и $\cos\beta \neq 0$):
$\frac{\sin\beta}{\cos\beta} = \text{tg}\beta$
Левая часть равна правой части, что и требовалось доказать.
Ответ: тождество доказано.

26.24. Докажите тождество:

1) $ \sin2x < 2\sin x $, если $ 0 < x < \pi $;

2) $ \sin2x < 2\cos x $, если $ -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2} $.

1) sin2x < 2sinx, если 0 < x < π;

Для доказательства данного неравенства преобразуем его. Перенесем все члены в левую часть:
$sin(2x) - 2sin(x) < 0$
Применим формулу синуса двойного угла $sin(2x) = 2sin(x)cos(x)$:
$2sin(x)cos(x) - 2sin(x) < 0$
Вынесем общий множитель $2sin(x)$ за скобки:
$2sin(x)(cos(x) - 1) < 0$
Теперь проанализируем знаки множителей в заданном интервале $0 < x < \pi$.
В интервале $(0, \pi)$ (I и II координатные четверти) синус принимает положительные значения, то есть $sin(x) > 0$. Соответственно, $2sin(x) > 0$.
Значение косинуса любого угла не превышает 1, то есть $cos(x) \le 1$. Равенство $cos(x) = 1$ достигается при $x = 2\pi k$, где $k$ — целое число. Ни одно из этих значений не попадает в интервал $(0, \pi)$. Следовательно, для $x \in (0, \pi)$ выполняется строгое неравенство $cos(x) < 1$.
Из этого следует, что разность $cos(x) - 1$ всегда будет отрицательной: $cos(x) - 1 < 0$.
Таким образом, мы имеем произведение положительного множителя ($2sin(x)$) и отрицательного множителя ($(cos(x) - 1)$). Произведение положительного и отрицательного чисел всегда отрицательно.
Значит, неравенство $2sin(x)(cos(x) - 1) < 0$ истинно для всех $x$ из интервала $(0, \pi)$.
Ответ: Что и требовалось доказать.

2) sin2x < 2cosx, если -π/2 < x < π/2.

Проведем доказательство аналогично предыдущему пункту. Перенесем все члены неравенства в левую часть:
$sin(2x) - 2cos(x) < 0$
Используем формулу синуса двойного угла $sin(2x) = 2sin(x)cos(x)$:
$2sin(x)cos(x) - 2cos(x) < 0$
Вынесем общий множитель $2cos(x)$ за скобки:
$2cos(x)(sin(x) - 1) < 0$
Рассмотрим знаки множителей в заданном интервале $-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$.
В интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ (I и IV координатные четверти) косинус принимает положительные значения, то есть $cos(x) > 0$. Соответственно, $2cos(x) > 0$.
Значение синуса любого угла не превышает 1, то есть $sin(x) \le 1$. Равенство $sin(x) = 1$ достигается при $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ — целое число. Правая граница нашего интервала $x < \frac{\pi}{2}$ не включает это значение. Следовательно, для $x \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ выполняется строгое неравенство $sin(x) < 1$.
Из этого следует, что разность $sin(x) - 1$ всегда будет отрицательной: $sin(x) - 1 < 0$.
В итоге мы получили произведение положительного множителя ($2cos(x)$) и отрицательного множителя ($(sin(x) - 1)$). Такое произведение всегда отрицательно.
Значит, неравенство $2cos(x)(sin(x) - 1) < 0$ истинно для всех $x$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
Ответ: Что и требовалось доказать.

26.25. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения:

1) $ \cos^2 x + 3\sin^2 x $;

2) $ \sin^4 x + \cos^4 x $;

3) $ \sin^6 x + \cos^6 x $.

1) $\cos^2x + 3\sin^2x$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений выражения $\cos^2x + 3\sin^2x$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2x + \cos^2x = 1$. Выразим $\cos^2x$ через $\sin^2x$: $\cos^2x = 1 - \sin^2x$.

Подставим это в исходное выражение:

$ (1 - \sin^2x) + 3\sin^2x = 1 + 2\sin^2x $

Теперь нам нужно найти область значений выражения $1 + 2\sin^2x$. Мы знаем, что значения $\sin x$ лежат в диапазоне от -1 до 1, то есть $-1 \le \sin x \le 1$.

При возведении в квадрат значения $\sin x$, мы получаем, что $0 \le \sin^2x \le 1$.

Чтобы найти наименьшее значение выражения, мы должны взять наименьшее возможное значение для $\sin^2x$, которое равно 0.

Наименьшее значение: $1 + 2 \cdot 0 = 1$.

Чтобы найти наибольшее значение выражения, мы должны взять наибольшее возможное значение для $\sin^2x$, которое равно 1.

Наибольшее значение: $1 + 2 \cdot 1 = 3$.

Ответ: наименьшее значение 1, наибольшее значение 3.

2) $\sin^4x + \cos^4x$

Преобразуем выражение $\sin^4x + \cos^4x$, дополнив его до полного квадрата суммы. Мы знаем, что $a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$. Применим эту формулу, где $a = \sin^2x$ и $b = \cos^2x$.

$\sin^4x + \cos^4x = (\sin^2x)^2 + (\cos^2x)^2 = (\sin^2x + \cos^2x)^2 - 2\sin^2x\cos^2x$

Так как $\sin^2x + \cos^2x = 1$, выражение упрощается до:

$1^2 - 2\sin^2x\cos^2x = 1 - 2(\sin x\cos x)^2$

Воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin(2x) = 2\sin x\cos x$, откуда $\sin x\cos x = \frac{1}{2}\sin(2x)$.

Подставим это в наше выражение:

$1 - 2\left(\frac{1}{2}\sin(2x)\right)^2 = 1 - 2\left(\frac{1}{4}\sin^2(2x)\right) = 1 - \frac{1}{2}\sin^2(2x)$

Область значений для $\sin^2(2x)$ такая же, как и для $\sin^2x$, то есть $0 \le \sin^2(2x) \le 1$.

Наибольшее значение выражения достигается, когда вычитаемое $\frac{1}{2}\sin^2(2x)$ минимально. Это происходит при $\sin^2(2x) = 0$.

Наибольшее значение: $1 - \frac{1}{2} \cdot 0 = 1$.

Наименьшее значение выражения достигается, когда вычитаемое $\frac{1}{2}\sin^2(2x)$ максимально. Это происходит при $\sin^2(2x) = 1$.

Наименьшее значение: $1 - \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

Ответ: наименьшее значение $\frac{1}{2}$, наибольшее значение 1.

3) $\sin^6x + \cos^6x$

Преобразуем выражение $\sin^6x + \cos^6x$, используя формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$. Пусть $a = \sin^2x$ и $b = \cos^2x$.

$\sin^6x + \cos^6x = (\sin^2x)^3 + (\cos^2x)^3 = (\sin^2x + \cos^2x)((\sin^2x)^2 - \sin^2x\cos^2x + (\cos^2x)^2)$

Зная, что $\sin^2x + \cos^2x = 1$ и $\sin^4x + \cos^4x = (\sin^2x)^2 + (\cos^2x)^2$, получаем:

$1 \cdot (\sin^4x + \cos^4x - \sin^2x\cos^2x)$

Из предыдущего пункта мы знаем, что $\sin^4x + \cos^4x = 1 - 2\sin^2x\cos^2x$. Подставим это:

$(1 - 2\sin^2x\cos^2x) - \sin^2x\cos^2x = 1 - 3\sin^2x\cos^2x$

Снова используем замену $\sin x\cos x = \frac{1}{2}\sin(2x)$:

$1 - 3\left(\frac{1}{2}\sin(2x)\right)^2 = 1 - 3\left(\frac{1}{4}\sin^2(2x)\right) = 1 - \frac{3}{4}\sin^2(2x)$

Область значений для $\sin^2(2x)$ равна $[0, 1]$.

Наибольшее значение выражения достигается при наименьшем значении $\sin^2(2x)$, то есть при $\sin^2(2x)=0$.

Наибольшее значение: $1 - \frac{3}{4} \cdot 0 = 1$.

Наименьшее значение выражения достигается при наибольшем значении $\sin^2(2x)$, то есть при $\sin^2(2x)=1$.

Наименьшее значение: $1 - \frac{3}{4} \cdot 1 = \frac{1}{4}$.

Ответ: наименьшее значение $\frac{1}{4}$, наибольшее значение 1.

26.26. Упростите выражение:

1) $\sqrt{2} \cos\left(\frac{\pi}{4} - \beta\right) - \sin\beta$;

2) $\sqrt{2} \sin\left(\frac{\pi}{4} + \beta\right) - \cos\beta.$

1) Для упрощения выражения $ \sqrt{2} \cos(\frac{\pi}{4} - \beta) - \sin\beta $ воспользуемся формулой косинуса разности: $ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta $.

Применим эту формулу для $ \cos(\frac{\pi}{4} - \beta) $:

$ \cos(\frac{\pi}{4} - \beta) = \cos\frac{\pi}{4} \cos\beta + \sin\frac{\pi}{4} \sin\beta $.

Зная, что $ \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $, подставляем эти значения:

$ \cos(\frac{\pi}{4} - \beta) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos\beta + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin\beta $.

Теперь подставим это в исходное выражение:

$ \sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \cos\beta + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin\beta \right) - \sin\beta $.

Раскроем скобки, умножив $ \sqrt{2} $ на каждый член в скобках:

$ \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cos\beta + \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \sin\beta - \sin\beta $.

Упростим коэффициенты:

$ \frac{2}{2} \cos\beta + \frac{2}{2} \sin\beta - \sin\beta $.

$ \cos\beta + \sin\beta - \sin\beta $.

Сократим подобные слагаемые $ \sin\beta $ и $ -\sin\beta $:

$ \cos\beta $.

Ответ: $ \cos\beta $

2) Для упрощения выражения $ \sqrt{2} \sin(\frac{\pi}{4} + \beta) - \cos\beta $ воспользуемся формулой синуса суммы: $ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta $.

Применим эту формулу для $ \sin(\frac{\pi}{4} + \beta) $:

$ \sin(\frac{\pi}{4} + \beta) = \sin\frac{\pi}{4} \cos\beta + \cos\frac{\pi}{4} \sin\beta $.

Зная, что $ \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $, подставляем эти значения:

$ \sin(\frac{\pi}{4} + \beta) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos\beta + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin\beta $.

Теперь подставим это в исходное выражение:

$ \sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \cos\beta + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin\beta \right) - \cos\beta $.

Раскроем скобки:

$ \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cos\beta + \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \sin\beta - \cos\beta $.

Упростим коэффициенты:

$ \frac{2}{2} \cos\beta + \frac{2}{2} \sin\beta - \cos\beta $.

$ \cos\beta + \sin\beta - \cos\beta $.

Сократим подобные слагаемые $ \cos\beta $ и $ -\cos\beta $:

$ \sin\beta $.

Ответ: $ \sin\beta $

26.27. Постройте график функции:

1) $y = \begin{cases} x^2 - 2x, \text{ если } x \ge 0, \\ 1 - 3x, \text{ если } x < 0; \end{cases}$

2) $y = \begin{cases} -x^2 + x, \text{ если } x \le 0, \\ 2x - 3, \text{ если } x > 0. \end{cases}$

1) $y = \begin{cases} x^2 - 2x, & \text{если } x \ge 0 \\ 1 - 3x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Для построения графика заданной кусочной функции рассмотрим каждую ее часть отдельно.

Первая часть функции — $y = x^2 - 2x$ для $x \ge 0$.Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительное число).Найдем координаты вершины параболы:$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$.$y_в = (1)^2 - 2(1) = 1 - 2 = -1$.Координаты вершины — $(1, -1)$. Так как $x_в = 1 \ge 0$, вершина параболы принадлежит нашему графику.Найдем точки пересечения с осью абсцисс (нули функции):$x^2 - 2x = 0 \implies x(x - 2) = 0$.Отсюда $x_1 = 0$, $x_2 = 2$. Обе точки удовлетворяют условию $x \ge 0$.Точка $(0, 0)$ является точкой "стыка" двух частей функции.

Вторая часть функции — $y = 1 - 3x$ для $x < 0$.Графиком этой функции является прямая линия (в данном случае — луч). Для построения прямой достаточно двух точек. Возьмем значения $x$ из заданного промежутка $x < 0$.

• Если $x = -1$, то $y = 1 - 3(-1) = 1 + 3 = 4$. Получаем точку $(-1, 4)$.
• Если $x = -2$, то $y = 1 - 3(-2) = 1 + 6 = 7$. Получаем точку $(-2, 7)$.

Теперь объединим оба графика на одной координатной плоскости.

Ответ: График функции построен и представлен на рисунке выше.

2) $y = \begin{cases} -x^2 + x, & \text{если } x \le 0 \\ 2x - 3, & \text{если } x > 0 \end{cases}$

Для построения графика этой кусочной функции также рассмотрим каждую ее часть отдельно.

Первая часть функции — $y = -x^2 + x$ для $x \le 0$.Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ равен -1 (отрицательное число).Найдем координаты вершины параболы:$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \cdot (-1)} = \frac{1}{2} = 0.5$.$y_в = -(0.5)^2 + 0.5 = -0.25 + 0.5 = 0.25$.Координаты вершины — $(0.5, 0.25)$. Так как $x_в = 0.5$ не входит в промежуток $x \le 0$, вершина не является частью этого графика. На всем промежутке $x \le 0$ функция является убывающей.Найдем значение функции в граничной точке $x=0$:$y(0) = -0^2 + 0 = 0$. Точка $(0, 0)$ принадлежит графику.Найдем еще несколько точек для построения:

• Если $x = -1$, то $y = -(-1)^2 + (-1) = -1 - 1 = -2$. Получаем точку $(-1, -2)$.
• Если $x = -2$, то $y = -(-2)^2 + (-2) = -4 - 2 = -6$. Получаем точку $(-2, -6)$.

Вторая часть функции — $y = 2x - 3$ для $x > 0$.Графиком этой функции является луч. Для его построения найдем две точки, удовлетворяющие условию $x > 0$.

• Если $x = 1$, то $y = 2(1) - 3 = -1$. Получаем точку $(1, -1)$.
• Если $x = 2$, то $y = 2(2) - 3 = 1$. Получаем точку $(2, 1)$.

Объединим оба графика на одной координатной плоскости.

Ответ: График функции построен и представлен на рисунке выше.

26.28. Надо выложить кафелем фартук на кухне длиной 6 м и высотой 80 см. Сколько коробок кафеля нужно для этого купить, если размер плитки $25 \text{ см} \cdot 30 \text{ см}$, в коробку входит 20 штук, а на отходы уходит 5% от всего числа кафельной плитки, необходимой по площади фартука?

1. Сначала найдем площадь фартука, который нужно выложить кафелем. Для этого переведем все размеры в одну единицу измерения, например, в сантиметры.

Длина фартука: $L = 6 \text{ м} = 6 \cdot 100 \text{ см} = 600 \text{ см}$.

Высота фартука: $H = 80 \text{ см}$.

Площадь фартука равна произведению его длины на высоту:

$S_{фартука} = L \cdot H = 600 \text{ см} \cdot 80 \text{ см} = 48000 \text{ см}^2$.

2. Теперь найдем площадь одной кафельной плитки.

Размеры плитки: $25 \text{ см} \times 30 \text{ см}$.

Площадь одной плитки:

$S_{плитки} = 25 \text{ см} \cdot 30 \text{ см} = 750 \text{ см}^2$.

3. Рассчитаем, сколько плиток необходимо, чтобы покрыть всю площадь фартука, без учета отходов.

$N_{чисто} = \frac{S_{фартука}}{S_{плитки}} = \frac{48000 \text{ см}^2}{750 \text{ см}^2} = 64$ штуки.

4. Учтем, что на отходы уходит 5% от необходимого количества плитки.

Количество плитки на отходы: $N_{отходы} = 64 \cdot 5\% = 64 \cdot 0.05 = 3.2$ штуки.

Общее количество плитки, которое нужно приобрести, равно сумме плиток для покрытия площади и плиток на отходы:

$N_{всего} = N_{чисто} + N_{отходы} = 64 + 3.2 = 67.2$ штуки.

Поскольку плитку можно купить только целыми штуками, округляем полученное число в большую сторону до ближайшего целого. Таким образом, необходимо 68 плиток.

5. Определим, сколько коробок кафеля нужно купить. В одной коробке 20 плиток.

Количество коробок: $N_{коробок} = \frac{68}{20} = 3.4$ коробки.

Так как коробки продаются только целиком, округляем полученное значение в большую сторону до ближайшего целого. Следовательно, нужно купить 4 коробки.

Ответ: 4 коробки.

26.29. Представьте в виде произведения выражение:

1) $sin(\alpha + \beta) + sin(\alpha - \beta)$; 2) $cos(\alpha + \beta) + cos(\alpha - \beta)$;

3) $sin(\alpha + \beta) - sin(\alpha - \beta)$; 4) $cos(\alpha + \beta) + cos(\alpha - \beta)$.

1) Для того чтобы представить выражение $sin(\alpha + \beta) + sin(\alpha - \beta)$ в виде произведения, воспользуемся формулами синуса суммы и синуса разности:

$sin(\alpha + \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) + cos(\alpha)sin(\beta)$

$sin(\alpha - \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) - cos(\alpha)sin(\beta)$

Теперь сложим эти два равенства почленно:

$sin(\alpha + \beta) + sin(\alpha - \beta) = (sin(\alpha)cos(\beta) + cos(\alpha)sin(\beta)) + (sin(\alpha)cos(\beta) - cos(\alpha)sin(\beta))$

Упростим правую часть, приведя подобные слагаемые:

$sin(\alpha + \beta) + sin(\alpha - \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) + sin(\alpha)cos(\beta) + cos(\alpha)sin(\beta) - cos(\alpha)sin(\beta) = 2sin(\alpha)cos(\beta)$

Ответ: $2sin(\alpha)cos(\beta)$

2) Для преобразования выражения $cos(\alpha + \beta) + cos(\alpha - \beta)$ в произведение используем формулы косинуса суммы и косинуса разности:

$cos(\alpha + \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) - sin(\alpha)sin(\beta)$

$cos(\alpha - \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) + sin(\alpha)sin(\beta)$

Сложим эти два равенства:

$cos(\alpha + \beta) + cos(\alpha - \beta) = (cos(\alpha)cos(\beta) - sin(\alpha)sin(\beta)) + (cos(\alpha)cos(\beta) + sin(\alpha)sin(\beta))$

Упростим правую часть выражения:

$cos(\alpha + \beta) + cos(\alpha - \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) + cos(\alpha)cos(\beta) - sin(\alpha)sin(\beta) + sin(\alpha)sin(\beta) = 2cos(\alpha)cos(\beta)$

Ответ: $2cos(\alpha)cos(\beta)$

3) Чтобы представить выражение $sin(\alpha + \beta) - sin(\alpha - \beta)$ в виде произведения, снова обратимся к формулам синуса суммы и разности:

$sin(\alpha + \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) + cos(\alpha)sin(\beta)$

$sin(\alpha - \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) - cos(\alpha)sin(\beta)$

Теперь вычтем из первого равенства второе:

$sin(\alpha + \beta) - sin(\alpha - \beta) = (sin(\alpha)cos(\beta) + cos(\alpha)sin(\beta)) - (sin(\alpha)cos(\beta) - cos(\alpha)sin(\beta))$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$sin(\alpha + \beta) - sin(\alpha - \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) + cos(\alpha)sin(\beta) - sin(\alpha)cos(\beta) + cos(\alpha)sin(\beta) = 2cos(\alpha)sin(\beta)$

Ответ: $2cos(\alpha)sin(\beta)$

4) Данное выражение $cos(\alpha + \beta) + cos(\alpha - \beta)$ полностью идентично выражению из пункта 2), следовательно, результат будет таким же.

Повторим решение. Используем формулы косинуса суммы и косинуса разности:

$cos(\alpha + \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) - sin(\alpha)sin(\beta)$

$cos(\alpha - \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) + sin(\alpha)sin(\beta)$

Складывая эти два равенства, получаем:

$cos(\alpha + \beta) + cos(\alpha - \beta) = (cos(\alpha)cos(\beta) - sin(\alpha)sin(\beta)) + (cos(\alpha)cos(\beta) + sin(\alpha)sin(\beta)) = 2cos(\alpha)cos(\beta)$

Ответ: $2cos(\alpha)cos(\beta)$

Примечание: Вероятно, в условии пункта 4 допущена опечатка, и на самом деле имелось в виду выражение с разностью косинусов: $cos(\alpha + \beta) - cos(\alpha - \beta)$. На случай, если это так, приведем решение и для этого варианта.

Вычтем из формулы косинуса суммы формулу косинуса разности:

$cos(\alpha + \beta) - cos(\alpha - \beta) = (cos(\alpha)cos(\beta) - sin(\alpha)sin(\beta)) - (cos(\alpha)cos(\beta) + sin(\alpha)sin(\beta))$

Раскроем скобки и упростим:

$cos(\alpha + \beta) - cos(\alpha - \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) - sin(\alpha)sin(\beta) - cos(\alpha)cos(\beta) - sin(\alpha)sin(\beta) = -2sin(\alpha)sin(\beta)$

Таким образом, для выражения $cos(\alpha + \beta) - cos(\alpha - \beta)$ результатом было бы $-2sin(\alpha)sin(\beta)$.