Номер 26.27, страница 75, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

26.27. Постройте график функции:

1) $y = \begin{cases} x^2 - 2x, \text{ если } x \ge 0, \\ 1 - 3x, \text{ если } x < 0; \end{cases}$

2) $y = \begin{cases} -x^2 + x, \text{ если } x \le 0, \\ 2x - 3, \text{ если } x > 0. \end{cases}$

1) $y = \begin{cases} x^2 - 2x, & \text{если } x \ge 0 \\ 1 - 3x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Для построения графика заданной кусочной функции рассмотрим каждую ее часть отдельно.

Первая часть функции — $y = x^2 - 2x$ для $x \ge 0$.Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительное число).Найдем координаты вершины параболы:$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$.$y_в = (1)^2 - 2(1) = 1 - 2 = -1$.Координаты вершины — $(1, -1)$. Так как $x_в = 1 \ge 0$, вершина параболы принадлежит нашему графику.Найдем точки пересечения с осью абсцисс (нули функции):$x^2 - 2x = 0 \implies x(x - 2) = 0$.Отсюда $x_1 = 0$, $x_2 = 2$. Обе точки удовлетворяют условию $x \ge 0$.Точка $(0, 0)$ является точкой "стыка" двух частей функции.

Вторая часть функции — $y = 1 - 3x$ для $x < 0$.Графиком этой функции является прямая линия (в данном случае — луч). Для построения прямой достаточно двух точек. Возьмем значения $x$ из заданного промежутка $x < 0$.

• Если $x = -1$, то $y = 1 - 3(-1) = 1 + 3 = 4$. Получаем точку $(-1, 4)$.
• Если $x = -2$, то $y = 1 - 3(-2) = 1 + 6 = 7$. Получаем точку $(-2, 7)$.

Теперь объединим оба графика на одной координатной плоскости.

Ответ: График функции построен и представлен на рисунке выше.

2) $y = \begin{cases} -x^2 + x, & \text{если } x \le 0 \\ 2x - 3, & \text{если } x > 0 \end{cases}$

Для построения графика этой кусочной функции также рассмотрим каждую ее часть отдельно.

Первая часть функции — $y = -x^2 + x$ для $x \le 0$.Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ равен -1 (отрицательное число).Найдем координаты вершины параболы:$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \cdot (-1)} = \frac{1}{2} = 0.5$.$y_в = -(0.5)^2 + 0.5 = -0.25 + 0.5 = 0.25$.Координаты вершины — $(0.5, 0.25)$. Так как $x_в = 0.5$ не входит в промежуток $x \le 0$, вершина не является частью этого графика. На всем промежутке $x \le 0$ функция является убывающей.Найдем значение функции в граничной точке $x=0$:$y(0) = -0^2 + 0 = 0$. Точка $(0, 0)$ принадлежит графику.Найдем еще несколько точек для построения:

• Если $x = -1$, то $y = -(-1)^2 + (-1) = -1 - 1 = -2$. Получаем точку $(-1, -2)$.
• Если $x = -2$, то $y = -(-2)^2 + (-2) = -4 - 2 = -6$. Получаем точку $(-2, -6)$.

Вторая часть функции — $y = 2x - 3$ для $x > 0$.Графиком этой функции является луч. Для его построения найдем две точки, удовлетворяющие условию $x > 0$.

• Если $x = 1$, то $y = 2(1) - 3 = -1$. Получаем точку $(1, -1)$.
• Если $x = 2$, то $y = 2(2) - 3 = 1$. Получаем точку $(2, 1)$.

Объединим оба графика на одной координатной плоскости.

Ответ: График функции построен и представлен на рисунке выше.