Номер 27.1, страница 79, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Параграф 27. Преобразование суммы и разности тригонометрических функций в произведение. Глава IV. Тригонометрия. Часть 2 - номер 27.1, страница 79.

Условие рус.

27.1. Представьте тригонометрическое выражение в виде произведения:

1) $ \sin3x + \sin5x $;

2) $ \sin2\beta + \sin6\beta $;

3) $ \sin15 + \sin15 $;

4) $ \sin130^\circ + \sin10 $;

5) $ \cos3x + \cos7x $;

6) $ \cos13\alpha - \cos5\alpha $;

7) $ \cos13 - \cos27 $;

8) $ \cos78^\circ + \cos18 $.

Условие кз.

Решение.

Решение 2 (rus).

1) Для преобразования суммы синусов в произведение используется формула суммы синусов: $ \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) $. Применим ее к выражению $ \sin 3x + \sin 5x $, поменяв слагаемые местами для удобства: $ \sin 5x + \sin 3x = 2 \sin\left(\frac{5x+3x}{2}\right) \cos\left(\frac{5x-3x}{2}\right) = 2 \sin\left(\frac{8x}{2}\right) \cos\left(\frac{2x}{2}\right) = 2 \sin(4x) \cos(x) $. Ответ: $ 2 \sin(4x) \cos(x) $.

2) Используем формулу суммы синусов $ \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) $ для выражения $ \sin 2\beta + \sin 6\beta $: $ \sin 2\beta + \sin 6\beta = 2 \sin\left(\frac{2\beta+6\beta}{2}\right) \cos\left(\frac{2\beta-6\beta}{2}\right) = 2 \sin(4\beta) \cos(-2\beta) $. Поскольку косинус является четной функцией, то есть $ \cos(-2\beta) = \cos(2\beta) $, итоговое выражение: $ 2 \sin(4\beta) \cos(2\beta) $. Ответ: $ 2 \sin(4\beta) \cos(2\beta) $.

3) Данное выражение является суммой двух одинаковых слагаемых: $ \sin 15 + \sin 15 = 2\sin 15 $. Это выражение уже представлено в виде произведения. Можно также формально применить формулу суммы синусов: $ \sin 15 + \sin 15 = 2 \sin\left(\frac{15+15}{2}\right) \cos\left(\frac{15-15}{2}\right) = 2 \sin(15) \cos(0) $. Так как $ \cos(0) = 1 $, результат равен $ 2 \sin(15) $. Ответ: $ 2\sin 15 $.

4) Применяем формулу суммы синусов $ \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) $: $ \sin 130^\circ + \sin 10^\circ = 2 \sin\left(\frac{130^\circ+10^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{130^\circ-10^\circ}{2}\right) = 2 \sin(70^\circ) \cos(60^\circ) $. Зная, что $ \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} $, получаем: $ 2 \sin(70^\circ) \cdot \frac{1}{2} = \sin(70^\circ) $. Ответ: $ \sin(70^\circ) $.

5) Для преобразования суммы косинусов в произведение используется формула $ \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) $. Применим ее к выражению $ \cos 3x + \cos 7x $: $ \cos 3x + \cos 7x = 2 \cos\left(\frac{3x+7x}{2}\right) \cos\left(\frac{3x-7x}{2}\right) = 2 \cos(5x) \cos(-2x) $. Так как косинус — четная функция, $ \cos(-2x) = \cos(2x) $, получаем $ 2 \cos(5x) \cos(2x) $. Ответ: $ 2 \cos(5x) \cos(2x) $.

6) Воспользуемся формулой разности косинусов: $ \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) $. В данном случае: $ \cos 13\alpha - \cos 5\alpha = -2 \sin\left(\frac{13\alpha+5\alpha}{2}\right) \sin\left(\frac{13\alpha-5\alpha}{2}\right) = -2 \sin\left(\frac{18\alpha}{2}\right) \sin\left(\frac{8\alpha}{2}\right) = -2 \sin(9\alpha) \sin(4\alpha) $. Ответ: $ -2 \sin(9\alpha) \sin(4\alpha) $.

7) Применяем формулу разности косинусов $ \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) $: $ \cos 13 - \cos 27 = -2 \sin\left(\frac{13+27}{2}\right) \sin\left(\frac{13-27}{2}\right) = -2 \sin(20) \sin(-7) $. Поскольку синус — нечетная функция, $ \sin(-7) = -\sin(7) $, то выражение преобразуется к виду $ -2 \sin(20) (-\sin(7)) = 2 \sin(20) \sin(7) $. Ответ: $ 2 \sin(20) \sin(7) $.

8) Используем формулу суммы косинусов $ \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) $: $ \cos 78^\circ + \cos 18^\circ = 2 \cos\left(\frac{78^\circ+18^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{78^\circ-18^\circ}{2}\right) = 2 \cos(48^\circ) \cos(30^\circ) $. Так как $ \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} $, получаем $ 2 \cos(48^\circ) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \cos(48^\circ) $. Ответ: $ \sqrt{3} \cos(48^\circ) $.