Номер 27.6, страница 80, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

27.6. Преобразуйте выражение:

1) $ \text{tg}75^\circ - \text{tg}15^\circ $;

2) $ \text{ctg}11^\circ + \text{ctg}34^\circ $;

3) $ \text{tg}25^\circ + \text{tg}65^\circ $;

4) $ \text{tg}85^\circ + \text{ctg}85^\circ $;

5) $ \text{ctg}50^\circ - \text{ctg}20^\circ $;

6) $ \text{tg}25^\circ - \text{ctg}85^\circ $;

7) $ \text{tg}15^\circ + \text{ctg}75^\circ $;

8) $ \text{ctg}15^\circ - \text{tg}75^\circ $.

1) Для преобразования разности тангенсов воспользуемся формулой $tg\alpha - tg\beta = \frac{sin(\alpha - \beta)}{cos\alpha cos\beta}$.
$tg75^\circ - tg15^\circ = \frac{sin(75^\circ - 15^\circ)}{cos75^\circ cos15^\circ} = \frac{sin60^\circ}{cos75^\circ cos15^\circ}$.
Значение синуса $sin60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Для знаменателя используем формулу произведения косинусов $cos\alpha cos\beta = \frac{1}{2}(cos(\alpha - \beta) + cos(\alpha + \beta))$:
$cos75^\circ cos15^\circ = \frac{1}{2}(cos(75^\circ - 15^\circ) + cos(75^\circ + 15^\circ)) = \frac{1}{2}(cos60^\circ + cos90^\circ) = \frac{1}{2}(\frac{1}{2} + 0) = \frac{1}{4}$.
Подставляем найденные значения в исходное выражение:
$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 4 = 2\sqrt{3}$.
Ответ: $2\sqrt{3}$.

2) Для преобразования суммы котангенсов используем формулу $ctg\alpha + ctg\beta = \frac{sin(\alpha + \beta)}{sin\alpha sin\beta}$.
$ctg11^\circ + ctg34^\circ = \frac{sin(11^\circ + 34^\circ)}{sin11^\circ sin34^\circ} = \frac{sin45^\circ}{sin11^\circ sin34^\circ}$.
Так как $sin45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, выражение можно записать в виде:
$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{sin11^\circ sin34^\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2sin11^\circ sin34^\circ}$.
Это и есть преобразованное выражение, где сумма представлена в виде произведения/частного.
Ответ: $\frac{sin45^\circ}{sin11^\circ sin34^\circ}$.

3) Для преобразования суммы тангенсов воспользуемся формулой $tg\alpha + tg\beta = \frac{sin(\alpha + \beta)}{cos\alpha cos\beta}$.
$tg25^\circ + tg65^\circ = \frac{sin(25^\circ + 65^\circ)}{cos25^\circ cos65^\circ} = \frac{sin90^\circ}{cos25^\circ cos65^\circ}$.
Поскольку $sin90^\circ = 1$, выражение упрощается до $\frac{1}{cos25^\circ cos65^\circ}$.
Используем формулу приведения: $cos65^\circ = cos(90^\circ - 25^\circ) = sin25^\circ$.
Знаменатель становится $cos25^\circ sin25^\circ$.
Применим формулу синуса двойного угла $sin(2\alpha) = 2sin\alpha cos\alpha$, откуда $sin\alpha cos\alpha = \frac{sin(2\alpha)}{2}$.
$cos25^\circ sin25^\circ = \frac{sin(2 \cdot 25^\circ)}{2} = \frac{sin50^\circ}{2}$.
Подставляем в выражение: $\frac{1}{\frac{sin50^\circ}{2}} = \frac{2}{sin50^\circ}$.
Ответ: $\frac{2}{sin50^\circ}$.

4) Преобразуем сумму тангенса и котангенса одного и того же угла, представив их через синус и косинус:
$tg\alpha + ctg\alpha = \frac{sin\alpha}{cos\alpha} + \frac{cos\alpha}{sin\alpha} = \frac{sin^2\alpha + cos^2\alpha}{sin\alpha cos\alpha}$.
Используя основное тригонометрическое тождество $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$ и формулу синуса двойного угла $sin\alpha cos\alpha = \frac{sin(2\alpha)}{2}$, получаем:
$\frac{1}{\frac{sin(2\alpha)}{2}} = \frac{2}{sin(2\alpha)}$.
Применим эту общую формулу для $\alpha = 85^\circ$:
$tg85^\circ + ctg85^\circ = \frac{2}{sin(2 \cdot 85^\circ)} = \frac{2}{sin170^\circ}$.
Используя формулу приведения $sin(180^\circ - \alpha) = sin\alpha$, получаем:
$sin170^\circ = sin(180^\circ - 10^\circ) = sin10^\circ$.
Таким образом, итоговое выражение равно $\frac{2}{sin10^\circ}$.
Ответ: $\frac{2}{sin10^\circ}$.

5) Для преобразования разности котангенсов используем формулу $ctg\alpha - ctg\beta = \frac{sin(\beta - \alpha)}{sin\alpha sin\beta}$.
$ctg50^\circ - ctg20^\circ = \frac{sin(20^\circ - 50^\circ)}{sin50^\circ sin20^\circ} = \frac{sin(-30^\circ)}{sin50^\circ sin20^\circ}$.
Так как синус — нечетная функция, $sin(-30^\circ) = -sin30^\circ = -\frac{1}{2}$.
Подставляем это значение:
$\frac{-\frac{1}{2}}{sin50^\circ sin20^\circ} = -\frac{1}{2sin50^\circ sin20^\circ}$.
Выражение преобразовано из разности в частное/произведение.
Ответ: $-\frac{1}{2sin50^\circ sin20^\circ}$.

6) Сначала воспользуемся формулой приведения для котангенса: $ctg(85^\circ) = ctg(90^\circ - 5^\circ) = tg(5^\circ)$.
Тогда исходное выражение принимает вид: $tg25^\circ - tg5^\circ$.
Теперь применим формулу разности тангенсов $tg\alpha - tg\beta = \frac{sin(\alpha - \beta)}{cos\alpha cos\beta}$.
$tg25^\circ - tg5^\circ = \frac{sin(25^\circ - 5^\circ)}{cos25^\circ cos5^\circ} = \frac{sin20^\circ}{cos25^\circ cos5^\circ}$.
Выражение преобразовано из разности в частное/произведение.
Ответ: $\frac{sin20^\circ}{cos25^\circ cos5^\circ}$.

7) Воспользуемся формулой приведения для котангенса: $ctg(75^\circ) = ctg(90^\circ - 15^\circ) = tg(15^\circ)$.
Исходное выражение становится $tg15^\circ + tg15^\circ = 2tg15^\circ$.
Найдем значение $tg15^\circ$ по формуле тангенса разности $tg(\alpha - \beta) = \frac{tg\alpha - tg\beta}{1 + tg\alpha tg\beta}$:
$tg15^\circ = tg(45^\circ - 30^\circ) = \frac{tg45^\circ - tg30^\circ}{1 + tg45^\circ tg30^\circ} = \frac{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$.
Умножим числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю выражение $(\sqrt{3}-1)$:
$\frac{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{(\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{3} + 1}{3-1} = \frac{3-2\sqrt{3}+1}{2} = \frac{4-2\sqrt{3}}{2} = 2-\sqrt{3}$.
Тогда $2tg15^\circ = 2(2-\sqrt{3}) = 4-2\sqrt{3}$.
Ответ: $4-2\sqrt{3}$.

8) Воспользуемся формулой приведения для тангенса: $tg(75^\circ) = tg(90^\circ - 15^\circ) = ctg(15^\circ)$.
Подставим это в исходное выражение:
$ctg15^\circ - tg75^\circ = ctg15^\circ - ctg15^\circ = 0$.
Ответ: $0$.