Номер 27.4, страница 79, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

27.4. Упростите выражение:

1) $\frac{\sin 37^\circ + \sin 23^\circ}{\sin 37^\circ - \sin 23^\circ}$;

2) $\frac{\cos 20^\circ - \cos 140^\circ}{\cos 20^\circ + \cos 140^\circ}$;

3) $\frac{\sin 55^\circ - \sin 35^\circ}{\cos 55^\circ - \cos 35^\circ}$;

4) $\frac{\cos 25^\circ - \cos 85^\circ}{\sin 25^\circ + \sin 85^\circ}$;

5) $\frac{\cos \alpha - \cos \beta}{\cos \alpha + \cos \beta}$;

6) $\frac{\sin \alpha - \sin \beta}{\sin \alpha + \sin \beta}$;

7) $\frac{\cos \alpha + \cos \beta}{\sin \beta - \sin \alpha}$;

8) $\frac{\cos \alpha - \cos \beta}{\sin \alpha + \sin \beta}$;

9) $\frac{\cos 5x - \cos x}{\sin 5x + \sin x}$;

10) $\frac{\sin 2x - \sin x}{\cos 2x + \cos x}$;

11) $\frac{\sin 2x + \sin 6x}{\cos 2x - \cos 6x}$;

12) $\frac{\cos 2x - \cos 3x}{\sin 2x - \sin 3x}$;

13) $\frac{\sin 4\alpha - \sin 6\alpha}{\cos 3\alpha + \cos 7\alpha}$;

14) $\frac{\sin 7\beta + \sin 11\beta}{\cos 10\beta - \cos 8\beta}$;

15) $\frac{\cos(45^\circ - \alpha) + \cos(45^\circ + \alpha)}{\sin(45^\circ - \alpha) + \sin(45^\circ + \alpha)}$;

16) $\frac{\sin(45^\circ + \alpha) + \sin(45^\circ - \alpha)}{\sin(45^\circ + \alpha) - \sin(45^\circ - \alpha)}$.

1) Используя формулы суммы и разности синусов, преобразуем числитель и знаменатель: $\sin 37^\circ + \sin 23^\circ = 2 \sin\frac{37^\circ+23^\circ}{2} \cos\frac{37^\circ-23^\circ}{2} = 2 \sin 30^\circ \cos 7^\circ$; $\sin 37^\circ - \sin 23^\circ = 2 \cos\frac{37^\circ+23^\circ}{2} \sin\frac{37^\circ-23^\circ}{2} = 2 \cos 30^\circ \sin 7^\circ$. Тогда выражение равно: $\frac{2 \sin 30^\circ \cos 7^\circ}{2 \cos 30^\circ \sin 7^\circ} = \frac{\sin 30^\circ}{\cos 30^\circ} \cdot \frac{\cos 7^\circ}{\sin 7^\circ} = \tan 30^\circ \cot 7^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3} \cot 7^\circ$. Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3} \cot 7^\circ$.

2) Используем формулу приведения $\cos 140^\circ = \cos(180^\circ - 40^\circ) = -\cos 40^\circ$. Выражение принимает вид $\frac{\cos 20^\circ + \cos 40^\circ}{\cos 20^\circ - \cos 40^\circ}$. Применим формулы суммы и разности косинусов: $\frac{2 \cos\frac{20^\circ+40^\circ}{2} \cos\frac{20^\circ-40^\circ}{2}}{-2 \sin\frac{20^\circ+40^\circ}{2} \sin\frac{20^\circ-40^\circ}{2}} = \frac{2 \cos 30^\circ \cos(-10^\circ)}{-2 \sin 30^\circ \sin(-10^\circ)} = \frac{2 \cos 30^\circ \cos 10^\circ}{2 \sin 30^\circ \sin 10^\circ} = \cot 30^\circ \cot 10^\circ = \sqrt{3} \cot 10^\circ$. Ответ: $\sqrt{3} \cot 10^\circ$.

3) Применим формулы разности синусов и косинусов: $\frac{\sin 55^\circ - \sin 35^\circ}{\cos 55^\circ - \cos 35^\circ} = \frac{2 \cos\frac{55^\circ+35^\circ}{2} \sin\frac{55^\circ-35^\circ}{2}}{-2 \sin\frac{55^\circ+35^\circ}{2} \sin\frac{55^\circ-35^\circ}{2}} = \frac{2 \cos 45^\circ \sin 10^\circ}{-2 \sin 45^\circ \sin 10^\circ} = -\frac{\cos 45^\circ}{\sin 45^\circ} = -\cot 45^\circ = -1$. Ответ: $-1$.

4) Применим формулу разности косинусов и суммы синусов: $\frac{\cos 25^\circ - \cos 85^\circ}{\sin 25^\circ + \sin 85^\circ} = \frac{-2 \sin\frac{25^\circ+85^\circ}{2} \sin\frac{25^\circ-85^\circ}{2}}{2 \sin\frac{25^\circ+85^\circ}{2} \cos\frac{25^\circ-85^\circ}{2}} = \frac{-2 \sin 55^\circ \sin(-30^\circ)}{2 \sin 55^\circ \cos(-30^\circ)} = \frac{2 \sin 55^\circ \sin 30^\circ}{2 \sin 55^\circ \cos 30^\circ} = \frac{\sin 30^\circ}{\cos 30^\circ} = \tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

5) Используя формулы разности и суммы косинусов, получаем: $\frac{\cos \alpha - \cos \beta}{\cos \alpha + \cos \beta} = \frac{-2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \sin\frac{\alpha-\beta}{2}}{2 \cos\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2}} = -\tan\frac{\alpha+\beta}{2} \tan\frac{\alpha-\beta}{2}$. Ответ: $-\tan\frac{\alpha+\beta}{2} \tan\frac{\alpha-\beta}{2}$.

6) Используя формулы разности и суммы синусов, получаем: $\frac{\sin \alpha - \sin \beta}{\sin \alpha + \sin \beta} = \frac{2 \cos\frac{\alpha+\beta}{2} \sin\frac{\alpha-\beta}{2}}{2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2}} = \cot\frac{\alpha+\beta}{2} \tan\frac{\alpha-\beta}{2}$. Ответ: $\cot\frac{\alpha+\beta}{2} \tan\frac{\alpha-\beta}{2}$.

7) Преобразуем числитель и знаменатель: $\frac{\cos \alpha + \cos \beta}{\sin \beta - \sin \alpha} = \frac{2 \cos\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2}}{2 \cos\frac{\beta+\alpha}{2} \sin\frac{\beta-\alpha}{2}} = \frac{\cos\frac{\alpha-\beta}{2}}{\sin(\frac{-(\alpha-\beta)}{2})} = \frac{\cos\frac{\alpha-\beta}{2}}{-\sin\frac{\alpha-\beta}{2}} = -\cot\frac{\alpha-\beta}{2}$. Ответ: $-\cot\frac{\alpha-\beta}{2}$.

8) Преобразуем числитель и знаменатель: $\frac{\cos \alpha - \cos \beta}{\sin \alpha + \sin \beta} = \frac{-2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \sin\frac{\alpha-\beta}{2}}{2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2}} = -\frac{\sin\frac{\alpha-\beta}{2}}{\cos\frac{\alpha-\beta}{2}} = -\tan\frac{\alpha-\beta}{2}$. Ответ: $-\tan\frac{\alpha-\beta}{2}$.

9) Используя результат из задачи 8 при $\alpha=5x$ и $\beta=x$: $\frac{\cos 5x - \cos x}{\sin 5x + \sin x} = -\tan\frac{5x-x}{2} = -\tan\frac{4x}{2} = -\tan(2x)$. Ответ: $-\tan(2x)$.

10) Преобразуем числитель и знаменатель: $\frac{\sin 2x - \sin x}{\cos 2x + \cos x} = \frac{2 \cos\frac{2x+x}{2} \sin\frac{2x-x}{2}}{2 \cos\frac{2x+x}{2} \cos\frac{2x-x}{2}} = \frac{\sin\frac{x}{2}}{\cos\frac{x}{2}} = \tan\frac{x}{2}$. Ответ: $\tan\frac{x}{2}$.

11) Преобразуем числитель и знаменатель: $\frac{\sin 2x + \sin 6x}{\cos 2x - \cos 6x} = \frac{2 \sin\frac{2x+6x}{2} \cos\frac{2x-6x}{2}}{-2 \sin\frac{2x+6x}{2} \sin\frac{2x-6x}{2}} = \frac{2 \sin 4x \cos(-2x)}{-2 \sin 4x \sin(-2x)} = \frac{\cos 2x}{\sin 2x} = \cot 2x$. Ответ: $\cot 2x$.

12) Преобразуем числитель и знаменатель: $\frac{\cos 2x - \cos 3x}{\sin 2x - \sin 3x} = \frac{-2 \sin\frac{2x+3x}{2} \sin\frac{2x-3x}{2}}{2 \cos\frac{2x+3x}{2} \sin\frac{2x-3x}{2}} = -\frac{\sin\frac{5x}{2}}{\cos\frac{5x}{2}} = -\tan\frac{5x}{2}$. Ответ: $-\tan\frac{5x}{2}$.

13) В условии, вероятно, допущена опечатка, так как используются разные переменные ($\alpha$ и $x$). Предположим, что имелось в виду выражение $\frac{\sin 4\alpha - \sin 6\alpha}{\cos 3\alpha + \cos 7\alpha}$. Применим формулы преобразования. Числитель: $\sin 4\alpha - \sin 6\alpha = 2 \cos\frac{4\alpha+6\alpha}{2} \sin\frac{4\alpha-6\alpha}{2} = -2 \cos 5\alpha \sin\alpha$. Знаменатель: $\cos 3\alpha + \cos 7\alpha = 2 \cos\frac{3\alpha+7\alpha}{2} \cos\frac{3\alpha-7\alpha}{2} = 2 \cos 5\alpha \cos 2\alpha$. Тогда дробь равна $\frac{-2 \cos 5\alpha \sin\alpha}{2 \cos 5\alpha \cos 2\alpha} = -\frac{\sin\alpha}{\cos 2\alpha}$. Ответ: $-\frac{\sin\alpha}{\cos 2\alpha}$.

14) Преобразуем числитель и знаменатель: $\frac{\sin 7\beta + \sin 11\beta}{\cos 10\beta - \cos 8\beta} = \frac{2 \sin\frac{7\beta+11\beta}{2} \cos\frac{7\beta-11\beta}{2}}{-2 \sin\frac{10\beta+8\beta}{2} \sin\frac{10\beta-8\beta}{2}} = \frac{2 \sin 9\beta \cos(-2\beta)}{-2 \sin 9\beta \sin\beta} = \frac{\cos 2\beta}{-\sin\beta} = -\frac{\cos 2\beta}{\sin\beta}$. Ответ: $-\frac{\cos 2\beta}{\sin\beta}$.

15) Пусть $A = 45^\circ - \alpha$ и $B = 45^\circ + \alpha$. Тогда выражение принимает вид $\frac{\cos A + \cos B}{\sin A + \sin B}$. Преобразуем: $\frac{2 \cos\frac{A+B}{2} \cos\frac{A-B}{2}}{2 \sin\frac{A+B}{2} \cos\frac{A-B}{2}} = \frac{\cos\frac{A+B}{2}}{\sin\frac{A+B}{2}} = \cot\frac{A+B}{2}$. Так как $\frac{A+B}{2} = \frac{45^\circ - \alpha + 45^\circ + \alpha}{2} = 45^\circ$, то результат $\cot 45^\circ = 1$. Ответ: $1$.

16) Пусть $A = 45^\circ + \alpha$ и $B = 45^\circ - \alpha$. Тогда выражение принимает вид $\frac{\sin A + \sin B}{\sin A - \sin B}$. Преобразуем: $\frac{2 \sin\frac{A+B}{2} \cos\frac{A-B}{2}}{2 \cos\frac{A+B}{2} \sin\frac{A-B}{2}} = \tan\frac{A+B}{2} \cot\frac{A-B}{2}$. Так как $\frac{A+B}{2} = \frac{45^\circ + \alpha + 45^\circ - \alpha}{2} = 45^\circ$ и $\frac{A-B}{2} = \frac{45^\circ + \alpha - (45^\circ - \alpha)}{2} = \alpha$, то результат $\tan 45^\circ \cot\alpha = 1 \cdot \cot\alpha = \cot\alpha$. Ответ: $\cot\alpha$.