Номер 26.20, страница 74, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

26.20. Выведите формулы:

1) $sin3\alpha = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha$;

2) $cos3\alpha = 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha$;

3) $tg3\alpha = \frac{3\operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}^3\alpha}{1 - 3\operatorname{tg}^2\alpha}$.

1) Для вывода формулы синуса тройного угла $sin3\alpha$ представим $3\alpha$ как сумму $2\alpha + \alpha$ и воспользуемся формулой синуса суммы углов: $sin(x+y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)$.
$sin3\alpha = sin(2\alpha + \alpha) = sin2\alpha \cdot cos\alpha + cos2\alpha \cdot sin\alpha$.
Теперь применим формулы двойного угла: $sin2\alpha = 2sin\alpha cos\alpha$ и $cos2\alpha = cos^2\alpha - sin^2\alpha$. Чтобы выразить все через $sin\alpha$, используем вариант формулы косинуса двойного угла $cos2\alpha = 1 - 2sin^2\alpha$.
Подставим эти формулы в наше выражение:
$sin3\alpha = (2sin\alpha cos\alpha) \cdot cos\alpha + (1 - 2sin^2\alpha) \cdot sin\alpha$.
Упростим полученное выражение:
$sin3\alpha = 2sin\alpha cos^2\alpha + sin\alpha - 2sin^3\alpha$.
Используем основное тригонометрическое тождество $cos^2\alpha = 1 - sin^2\alpha$, чтобы заменить $cos^2\alpha$:
$sin3\alpha = 2sin\alpha(1 - sin^2\alpha) + sin\alpha - 2sin^3\alpha$.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$sin3\alpha = 2sin\alpha - 2sin^3\alpha + sin\alpha - 2sin^3\alpha$.
$sin3\alpha = (2sin\alpha + sin\alpha) - (2sin^3\alpha + 2sin^3\alpha) = 3sin\alpha - 4sin^3\alpha$.
Таким образом, формула выведена.
Ответ: $sin3\alpha = 3sin\alpha - 4sin^3\alpha$.

2) Для вывода формулы косинуса тройного угла $cos3\alpha$ также представим $3\alpha$ как $2\alpha + \alpha$ и воспользуемся формулой косинуса суммы углов: $cos(x+y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)$.
$cos3\alpha = cos(2\alpha + \alpha) = cos2\alpha \cdot cos\alpha - sin2\alpha \cdot sin\alpha$.
Применим формулы двойного угла. Чтобы выразить все через $cos\alpha$, используем вариант формулы $cos2\alpha = 2cos^2\alpha - 1$. Формула синуса двойного угла: $sin2\alpha = 2sin\alpha cos\alpha$.
Подставим эти формулы:
$cos3\alpha = (2cos^2\alpha - 1) \cdot cos\alpha - (2sin\alpha cos\alpha) \cdot sin\alpha$.
Упростим выражение:
$cos3\alpha = 2cos^3\alpha - cos\alpha - 2sin^2\alpha cos\alpha$.
Используем основное тригонометрическое тождество $sin^2\alpha = 1 - cos^2\alpha$, чтобы заменить $sin^2\alpha$:
$cos3\alpha = 2cos^3\alpha - cos\alpha - 2(1 - cos^2\alpha)cos\alpha$.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$cos3\alpha = 2cos^3\alpha - cos\alpha - (2cos\alpha - 2cos^3\alpha)$.
$cos3\alpha = 2cos^3\alpha - cos\alpha - 2cos\alpha + 2cos^3\alpha$.
$cos3\alpha = (2cos^3\alpha + 2cos^3\alpha) - (cos\alpha + 2cos\alpha) = 4cos^3\alpha - 3cos\alpha$.
Таким образом, формула выведена.
Ответ: $cos3\alpha = 4cos^3\alpha - 3cos\alpha$.

3) Для вывода формулы тангенса тройного угла $tg3\alpha$ представим $3\alpha$ как $2\alpha + \alpha$ и воспользуемся формулой тангенса суммы углов: $tg(x+y) = \frac{tg(x) + tg(y)}{1 - tg(x)tg(y)}$.
$tg3\alpha = tg(2\alpha + \alpha) = \frac{tg2\alpha + tg\alpha}{1 - tg2\alpha \cdot tg\alpha}$.
Теперь применим формулу тангенса двойного угла: $tg2\alpha = \frac{2tg\alpha}{1 - tg^2\alpha}$.
Подставим эту формулу в числитель и знаменатель дроби.
Числитель: $tg2\alpha + tg\alpha = \frac{2tg\alpha}{1 - tg^2\alpha} + tg\alpha = \frac{2tg\alpha + tg\alpha(1-tg^2\alpha)}{1 - tg^2\alpha} = \frac{2tg\alpha + tg\alpha - tg^3\alpha}{1 - tg^2\alpha} = \frac{3tg\alpha - tg^3\alpha}{1 - tg^2\alpha}$.
Знаменатель: $1 - tg2\alpha \cdot tg\alpha = 1 - \frac{2tg\alpha}{1 - tg^2\alpha} \cdot tg\alpha = 1 - \frac{2tg^2\alpha}{1 - tg^2\alpha} = \frac{1 - tg^2\alpha - 2tg^2\alpha}{1 - tg^2\alpha} = \frac{1 - 3tg^2\alpha}{1 - tg^2\alpha}$.
Теперь разделим преобразованный числитель на преобразованный знаменатель:
$tg3\alpha = \frac{\frac{3tg\alpha - tg^3\alpha}{1 - tg^2\alpha}}{\frac{1 - 3tg^2\alpha}{1 - tg^2\alpha}}$.
Сократим общий знаменатель $(1 - tg^2\alpha)$:
$tg3\alpha = \frac{3tg\alpha - tg^3\alpha}{1 - 3tg^2\alpha}$.
Таким образом, формула выведена.
Ответ: $tg3\alpha = \frac{3tg\alpha - tg^3\alpha}{1 - 3tg^2\alpha}$.