Номер 26.23, страница 75, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

26.23. Докажите тождество:

1) $4\sin^3 \alpha \cdot \cos3\beta + 4\cos^3 \beta \cdot \sin3\beta = 3\sin4\beta;$

2) $\frac{\cos^3 \beta - \cos3\beta}{\sin^3 \beta + \sin3\beta} = \text{tg}\beta.$

1)Предположим, что в условии задачи имеется опечатка, и вместо $4\sin^3\alpha$ должно быть $4\sin^3\beta$. В этом случае тождество, которое нужно доказать, принимает вид:
$4\sin^3\beta \cdot \cos3\beta + 4\cos^3\beta \cdot \sin3\beta = 3\sin4\beta$.
Для доказательства преобразуем левую часть равенства, используя формулы синуса и косинуса тройного угла:
$\sin3\beta = 3\sin\beta - 4\sin^3\beta$
$\cos3\beta = 4\cos^3\beta - 3\cos\beta$
Из этих формул выразим $4\sin^3\beta$ и $4\cos^3\beta$:
$4\sin^3\beta = 3\sin\beta - \sin3\beta$
$4\cos^3\beta = 3\cos\beta + \cos3\beta$
Подставим полученные выражения в левую часть доказываемого тождества:
Левая часть = $(3\sin\beta - \sin3\beta)\cos3\beta + (3\cos\beta + \cos3\beta)\sin3\beta$
Раскроем скобки:
= $3\sin\beta\cos3\beta - \sin3\beta\cos3\beta + 3\cos\beta\sin3\beta + \cos3\beta\sin3\beta$
Приведем подобные слагаемые:
= $3\sin\beta\cos3\beta + 3\cos\beta\sin3\beta$
Вынесем общий множитель 3 за скобки:
= $3(\sin\beta\cos3\beta + \cos\beta\sin3\beta)$
Выражение в скобках является формулой синуса суммы двух углов $\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$, где $x=\beta$ и $y=3\beta$:
= $3\sin(\beta + 3\beta) = 3\sin(4\beta)$
Таким образом, левая часть равна правой части: $3\sin(4\beta) = 3\sin(4\beta)$. Тождество доказано.
Ответ: при условии, что в задании опечатка и $\alpha = \beta$, тождество доказано.

2)Для доказательства тождества $\frac{\cos^3\beta - \cos3\beta}{\sin^3\beta + \sin3\beta} = \text{tg}\beta$ преобразуем левую часть.
Воспользуемся формулами косинуса и синуса тройного угла:
$\cos3\beta = 4\cos^3\beta - 3\cos\beta$
$\sin3\beta = 3\sin\beta - 4\sin^3\beta$
Подставим эти формулы в числитель и знаменатель дроби.
Преобразуем числитель:
$\cos^3\beta - \cos3\beta = \cos^3\beta - (4\cos^3\beta - 3\cos\beta) = \cos^3\beta - 4\cos^3\beta + 3\cos\beta = 3\cos\beta - 3\cos^3\beta$
Вынесем общий множитель $3\cos\beta$ за скобки:
$3\cos\beta(1 - \cos^2\beta)$
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\beta + \cos^2\beta = 1$, заменим $1 - \cos^2\beta$ на $\sin^2\beta$:
Числитель = $3\cos\beta\sin^2\beta$
Теперь преобразуем знаменатель:
$\sin^3\beta + \sin3\beta = \sin^3\beta + (3\sin\beta - 4\sin^3\beta) = \sin^3\beta + 3\sin\beta - 4\sin^3\beta = 3\sin\beta - 3\sin^3\beta$
Вынесем общий множитель $3\sin\beta$ за скобки:
$3\sin\beta(1 - \sin^2\beta)$
Используя основное тригонометрическое тождество, заменим $1 - \sin^2\beta$ на $\cos^2\beta$:
Знаменатель = $3\sin\beta\cos^2\beta$
Теперь подставим преобразованные числитель и знаменатель обратно в дробь:
$\frac{3\cos\beta\sin^2\beta}{3\sin\beta\cos^2\beta}$
Сократим дробь на общий множитель $3\sin\beta\cos\beta$ (при условии, что $\sin\beta \neq 0$ и $\cos\beta \neq 0$):
$\frac{\sin\beta}{\cos\beta} = \text{tg}\beta$
Левая часть равна правой части, что и требовалось доказать.
Ответ: тождество доказано.