Номер 26.15, страница 73, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

26.15. Упростите выражение:

1) $1 - 8\sin2\beta \cdot \cos2\beta$;

2) $\operatorname{tg}\beta \cdot (1 + \cos2\beta) - \sin2\beta$;

3) $\frac{2\sin\beta - \sin2\beta}{2\sin\beta + \sin2\beta}$;

4) $\frac{\operatorname{ctg}(45^\circ - \beta)}{1 - \operatorname{ctg}^2(45^\circ - \beta)}$;

1)

Рассмотрим выражение $1 - 8\sin2\beta \cdot \cos2\beta$.

Для упрощения данного выражения воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.

Представим множитель $8$ как $4 \cdot 2$:

$1 - 4 \cdot (2\sin2\beta \cos2\beta)$

Теперь применим формулу синуса двойного угла для аргумента $2\beta$ (то есть, в формуле $\alpha = 2\beta$):

$2\sin2\beta \cos2\beta = \sin(2 \cdot 2\beta) = \sin(4\beta)$.

Подставив полученное выражение обратно, получаем:

$1 - 4\sin(4\beta)$.

Ответ: $1 - 4\sin(4\beta)$.

2)

Рассмотрим выражение $\operatorname{tg}\beta \cdot (1 + \cos2\beta) - \sin2\beta$.

Для упрощения воспользуемся тригонометрическими формулами двойного угла:

$1 + \cos2\beta = 2\cos^2\beta$

$\sin2\beta = 2\sin\beta\cos\beta$

Также заменим тангенс отношением синуса к косинусу: $\operatorname{tg}\beta = \frac{\sin\beta}{\cos\beta}$.

Подставим эти выражения в исходное:

$\frac{\sin\beta}{\cos\beta} \cdot (2\cos^2\beta) - 2\sin\beta\cos\beta$

При условии, что $\cos\beta \neq 0$, сократим $\cos\beta$ в первом слагаемом:

$\sin\beta \cdot (2\cos\beta) - 2\sin\beta\cos\beta = 2\sin\beta\cos\beta - 2\sin\beta\cos\beta = 0$.

Ответ: $0$.

3)

Рассмотрим выражение $\frac{2\sin\beta - \sin2\beta}{2\sin\beta + \sin2\beta}$.

Используем формулу синуса двойного угла $\sin2\beta = 2\sin\beta\cos\beta$ и подставим ее в числитель и знаменатель дроби:

$\frac{2\sin\beta - 2\sin\beta\cos\beta}{2\sin\beta + 2\sin\beta\cos\beta}$

Вынесем общий множитель $2\sin\beta$ за скобки в числителе и знаменателе (при условии, что $\sin\beta \neq 0$):

$\frac{2\sin\beta(1 - \cos\beta)}{2\sin\beta(1 + \cos\beta)}$

Сократим дробь на $2\sin\beta$:

$\frac{1 - \cos\beta}{1 + \cos\beta}$

Теперь применим формулы половинного угла (или формулы понижения степени):

$1 - \cos\beta = 2\sin^2\left(\frac{\beta}{2}\right)$

$1 + \cos\beta = 2\cos^2\left(\frac{\beta}{2}\right)$

Подставим их в наше выражение:

$\frac{2\sin^2\left(\frac{\beta}{2}\right)}{2\cos^2\left(\frac{\beta}{2}\right)} = \frac{\sin^2\left(\frac{\beta}{2}\right)}{\cos^2\left(\frac{\beta}{2}\right)} = \operatorname{tg}^2\left(\frac{\beta}{2}\right)$.

Ответ: $\operatorname{tg}^2\left(\frac{\beta}{2}\right)$.

4)

Рассмотрим выражение $\frac{\operatorname{ctg}(45^\circ - \beta)}{1 - \operatorname{ctg}^2(45^\circ - \beta)}$.

Для удобства введем замену: пусть $\alpha = 45^\circ - \beta$. Тогда выражение примет вид:

$\frac{\operatorname{ctg}\alpha}{1 - \operatorname{ctg}^2\alpha}$

Вспомним формулу котангенса двойного угла: $\operatorname{ctg}(2\alpha) = \frac{\operatorname{ctg}^2\alpha - 1}{2\operatorname{ctg}\alpha}$.

Преобразуем наше выражение, чтобы оно стало похожим на часть этой формулы:

$\frac{\operatorname{ctg}\alpha}{1 - \operatorname{ctg}^2\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}\alpha}{-(\operatorname{ctg}^2\alpha - 1)} = -\frac{\operatorname{ctg}\alpha}{\operatorname{ctg}^2\alpha - 1}$

Из формулы котангенса двойного угла следует, что $\frac{\operatorname{ctg}^2\alpha - 1}{\operatorname{ctg}\alpha} = 2\operatorname{ctg}(2\alpha)$. Тогда обратная дробь $\frac{\operatorname{ctg}\alpha}{\operatorname{ctg}^2\alpha - 1} = \frac{1}{2\operatorname{ctg}(2\alpha)}$.

Подставим это в наше преобразованное выражение:

$-\frac{1}{2\operatorname{ctg}(2\alpha)} = -\frac{1}{2}\operatorname{tg}(2\alpha)$.

Теперь вернемся к исходной переменной, подставив $\alpha = 45^\circ - \beta$:

$-\frac{1}{2}\operatorname{tg}(2(45^\circ - \beta)) = -\frac{1}{2}\operatorname{tg}(90^\circ - 2\beta)$.

Используем формулу приведения $\operatorname{tg}(90^\circ - x) = \operatorname{ctg}x$:

$-\frac{1}{2}\operatorname{ctg}(2\beta)$.

Ответ: $-\frac{1}{2}\operatorname{ctg}(2\beta)$.