Номер 26.9, страница 72, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

26.9. Упростите выражение:

1) $ \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha - \cos 2\alpha; $

2) $ \sin 2\beta - \operatorname{tg} \beta - \cos 2\beta \operatorname{tg} \beta; $

3) $ \operatorname{ctg} \varphi - \sin 2\varphi - \operatorname{ctg} \varphi \cos 2\varphi; $

4) $ \frac{1}{1 - \operatorname{tg} \alpha} - \frac{1}{1 + \operatorname{tg} \alpha}; $

5) $ (\sin \alpha - \sin \beta)^2 + (\cos \alpha - \cos \beta)^2; $

6) $ 1 + \frac{1 - \cos 2x + \sin 2x}{1 + \cos 2x + \sin 2x}; $

7) $ \cos \alpha (\cos \alpha + \cos \beta) + \sin \alpha (\sin \alpha + \sin \beta); $

8) $ 1 + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} - \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} - 2\operatorname{ctg} 2\alpha; $

9) $ \cos^2 \alpha - 4\sin^2 \frac{\alpha}{2} \cos^2 \frac{\alpha}{2} - \cos 2\alpha; $

10) $ \operatorname{ctg} 2\alpha - \operatorname{ctg} \alpha. $

1) Используем формулу косинуса двойного угла $cos2α = cos²α - sin²α$.Подставим это в исходное выражение:$cos²α - sin²α - cos2α = (cos²α - sin²α) - cos2α = cos2α - cos2α = 0$.
Ответ: $0$.

2) Сгруппируем слагаемые с $tgβ$ и вынесем его за скобки:$sin2β - tgβ - cos2β tgβ = sin2β - tgβ(1 + cos2β)$.Применим формулы двойного угла: $sin2β = 2sinβcosβ$ и $1 + cos2β = 2cos²β$. Также используем определение тангенса $tgβ = \frac{sinβ}{cosβ}$.$2sinβcosβ - \frac{sinβ}{cosβ} \cdot (2cos²β) = 2sinβcosβ - 2sinβcosβ = 0$.
Ответ: $0$.

3) Сгруппируем слагаемые с $ctgΦ$ и вынесем его за скобки:$ctgΦ - sin2Φ - ctgΦ cos2Φ = ctgΦ(1 - cos2Φ) - sin2Φ$.Применим формулы двойного угла: $1 - cos2Φ = 2sin²Φ$ и $sin2Φ = 2sinΦcosΦ$. Также используем определение котангенса $ctgΦ = \frac{cosΦ}{sinΦ}$.$\frac{cosΦ}{sinΦ} \cdot (2sin²Φ) - 2sinΦcosΦ = 2cosΦsinΦ - 2sinΦcosΦ = 0$.
Ответ: $0$.

4) Приведем дроби к общему знаменателю $(1 - tgα)(1 + tgα) = 1 - tg²α$:$\frac{1}{1 - tgα} - \frac{1}{1 + tgα} = \frac{(1 + tgα) - (1 - tgα)}{(1 - tgα)(1 + tgα)} = \frac{1 + tgα - 1 + tgα}{1 - tg²α} = \frac{2tgα}{1 - tg²α}$.Используем формулу тангенса двойного угла $tg2α = \frac{2tgα}{1 - tg²α}$.Таким образом, выражение равно $tg2α$.
Ответ: $tg2α$.

5) Раскроем скобки, используя формулы квадрата разности:$(sinα - sinβ)² + (cosα - cosβ)² = (sin²α - 2sinαsinβ + sin²β) + (cos²α - 2cosαcosβ + cos²β)$.Сгруппируем слагаемые:$(sin²α + cos²α) + (sin²β + cos²β) - 2(cosαcosβ + sinαsinβ)$.Применим основное тригонометрическое тождество $sin²θ + cos²θ = 1$ и формулу косинуса разности $cos(α - β) = cosαcosβ + sinαsinβ$.$1 + 1 - 2cos(α - β) = 2 - 2cos(α - β)$.Это выражение можно также преобразовать, используя формулу понижения степени: $2(1 - cos(α - β)) = 2 \cdot 2sin²(\frac{α - β}{2}) = 4sin²(\frac{α - β}{2})$. Оба ответа эквивалентны.
Ответ: $2 - 2cos(α - β)$.

6) Сначала приведем все выражение к общему знаменателю:$1 + \frac{1 - cos2x + sin2x}{1 + cos2x + sin2x} = \frac{(1 + cos2x + sin2x) + (1 - cos2x + sin2x)}{1 + cos2x + sin2x} = \frac{2 + 2sin2x}{1 + cos2x + sin2x}$.Используем формулы двойного угла: $sin2x = 2sinxcosx$, $1+cos2x = 2cos²x$, а также основное тригонометрическое тождество $1 = sin²x + cos²x$.Преобразуем числитель: $2 + 2sin2x = 2(1 + sin2x) = 2(sin²x + cos²x + 2sinxcosx) = 2(sinx + cosx)²$.Преобразуем знаменатель: $1 + cos2x + sin2x = (1 + cos2x) + sin2x = 2cos²x + 2sinxcosx = 2cosx(cosx + sinx)$.Подставим преобразованные части в дробь:$\frac{2(sinx + cosx)²}{2cosx(cosx + sinx)} = \frac{sinx + cosx}{cosx} = \frac{sinx}{cosx} + \frac{cosx}{cosx} = tgx + 1$.
Ответ: $1 + tgx$.

7) Раскроем скобки:$cosα(cosα + cosβ) + sinα(sinα + sinβ) = cos²α + cosαcosβ + sin²α + sinαsinβ$.Сгруппируем слагаемые:$(cos²α + sin²α) + (cosαcosβ + sinαsinβ)$.Используем основное тригонометрическое тождество $cos²α + sin²α = 1$ и формулу косинуса разности $cos(α - β) = cosαcosβ + sinαsinβ$.$1 + cos(α - β)$.
Ответ: $1 + cos(α - β)$.

8) Заменим дроби на котангенс и тангенс:$1 + \frac{cosα}{sinα} - \frac{sinα}{cosα} - 2ctg2α = 1 + ctgα - tgα - 2ctg2α$.Упростим разность $ctgα - tgα$:$ctgα - tgα = \frac{cosα}{sinα} - \frac{sinα}{cosα} = \frac{cos²α - sin²α}{sinαcosα} = \frac{cos2α}{\frac{1}{2}sin2α} = 2\frac{cos2α}{sin2α} = 2ctg2α$.Подставим это обратно в выражение:$1 + (2ctg2α) - 2ctg2α = 1$.
Ответ: $1$.

9) Используем формулу синуса двойного угла $sin(2θ) = 2sinθcosθ$. Для угла $\frac{α}{2}$ она выглядит как $sinα = 2sin\frac{α}{2}cos\frac{α}{2}$.Преобразуем средний член выражения:$4sin²\frac{α}{2}cos²\frac{α}{2} = (2sin\frac{α}{2}cos\frac{α}{2})² = (sinα)² = sin²α$.Теперь подставим это в исходное выражение:$cos²α - sin²α - cos2α$.Используем формулу косинуса двойного угла $cos2α = cos²α - sin²α$.$(cos²α - sin²α) - cos2α = cos2α - cos2α = 0$.
Ответ: $0$.

10) Представим котангенсы в виде отношения косинуса к синусу и приведем к общему знаменателю:$ctg2α - ctgα = \frac{cos2α}{sin2α} - \frac{cosα}{sinα} = \frac{cos2α \cdot sinα - cosα \cdot sin2α}{sin2α \cdot sinα}$.В числителе используем формулу синуса разности $sin(x - y) = sinxcosy - cosxsiny$.$\frac{sin(α - 2α)}{sin2α \cdot sinα} = \frac{sin(-α)}{sin2α \cdot sinα}$.Так как синус — нечетная функция, $sin(-α) = -sinα$.$\frac{-sinα}{sin2α \cdot sinα} = -\frac{1}{sin2α}$.
Ответ: $-\frac{1}{sin2α}$.