Номер 26.4, страница 72, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

26.4. 1) $\frac{2\sin^2\frac{\alpha}{2}}{\sin\alpha}$

2) $\frac{\cos\beta}{\cos\frac{\beta}{2}-\sin\frac{\beta}{2}}$

3) $\frac{\cos^2 2\alpha}{\sin 4\alpha}$

4) $\frac{(\sin\alpha + \cos\alpha)^2}{1 - \sin^2 2\alpha}$

1) Для упрощения выражения $ \frac{2\sin^2{\frac{\alpha}{2}}}{\sin\alpha} $ воспользуемся тригонометрическими формулами.
В числителе используем формулу понижения степени (или следствие из формулы косинуса двойного угла): $ 2\sin^2{\frac{\alpha}{2}} = 1 - \cos\alpha $.
В знаменателе используем формулу синуса двойного угла: $ \sin\alpha = 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2} $.
Подставим формулу для знаменателя в исходное выражение:
$ \frac{2\sin^2{\frac{\alpha}{2}}}{2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}} $
Сократим общие множители $ 2\sin\frac{\alpha}{2} $ в числителе и знаменателе (при условии $ \sin\frac{\alpha}{2} \neq 0 $):
$ \frac{\sin\frac{\alpha}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}} $
По определению тангенса, $ \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x $. Следовательно, полученное выражение равно $ \tan\frac{\alpha}{2} $.
Ответ: $ \tan\frac{\alpha}{2} $

2) Для упрощения выражения $ \frac{\cos\beta}{\cos\frac{\beta}{2} - \sin\frac{\beta}{2}} $ воспользуемся формулой косинуса двойного угла для числителя.
Представим $ \cos\beta $ как $ \cos(2 \cdot \frac{\beta}{2}) $. По формуле $ \cos(2x) = \cos^2x - \sin^2x $, получаем:
$ \cos\beta = \cos^2\frac{\beta}{2} - \sin^2\frac{\beta}{2} $
Теперь применим к числителю формулу разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $:
$ \cos^2\frac{\beta}{2} - \sin^2\frac{\beta}{2} = \left(\cos\frac{\beta}{2} - \sin\frac{\beta}{2}\right)\left(\cos\frac{\beta}{2} + \sin\frac{\beta}{2}\right) $
Подставим полученное выражение в исходную дробь:
$ \frac{\left(\cos\frac{\beta}{2} - \sin\frac{\beta}{2}\right)\left(\cos\frac{\beta}{2} + \sin\frac{\beta}{2}\right)}{\cos\frac{\beta}{2} - \sin\frac{\beta}{2}} $
Сократим дробь на общий множитель $ \left(\cos\frac{\beta}{2} - \sin\frac{\beta}{2}\right) $ (при условии, что он не равен нулю):
$ \cos\frac{\beta}{2} + \sin\frac{\beta}{2} $
Ответ: $ \cos\frac{\beta}{2} + \sin\frac{\beta}{2} $

3) Для упрощения выражения $ \frac{\cos^2{2\alpha}}{\sin{4\alpha}} $ воспользуемся формулой синуса двойного угла для знаменателя.
Представим $ \sin{4\alpha} $ как $ \sin(2 \cdot 2\alpha) $. По формуле $ \sin(2x) = 2\sin x \cos x $, получаем:
$ \sin{4\alpha} = 2\sin{2\alpha}\cos{2\alpha} $
Подставим это в исходное выражение:
$ \frac{\cos^2{2\alpha}}{2\sin{2\alpha}\cos{2\alpha}} $
Сократим дробь на $ \cos{2\alpha} $ (при условии $ \cos{2\alpha} \neq 0 $):
$ \frac{\cos{2\alpha}}{2\sin{2\alpha}} $
Используя определение котангенса $ \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} $, можем переписать выражение как:
$ \frac{1}{2}\cot{2\alpha} $
Ответ: $ \frac{1}{2}\cot{2\alpha} $

4) Для упрощения выражения $ \frac{(\sin\alpha + \cos\alpha)^2}{1 - \sin^2{2\alpha}} $ преобразуем числитель и знаменатель по отдельности.
Числитель: раскроем квадрат суммы $ (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 $:
$ (\sin\alpha + \cos\alpha)^2 = \sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha $
Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $ и формулу синуса двойного угла $ 2\sin\alpha\cos\alpha = \sin{2\alpha} $, получаем:
$ (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) + 2\sin\alpha\cos\alpha = 1 + \sin{2\alpha} $
Знаменатель: из основного тригонометрического тождества $ \sin^2x + \cos^2x = 1 $ следует, что $ 1 - \sin^2x = \cos^2x $. Применив это для $ x=2\alpha $, получаем:
$ 1 - \sin^2{2\alpha} = \cos^2{2\alpha} $
Подставим упрощенные части обратно в дробь:
$ \frac{1 + \sin{2\alpha}}{\cos^2{2\alpha}} $
Используем в знаменателе формулу разности квадратов: $ \cos^2{2\alpha} = 1 - \sin^2{2\alpha} = (1 - \sin{2\alpha})(1 + \sin{2\alpha}) $.
$ \frac{1 + \sin{2\alpha}}{(1 - \sin{2\alpha})(1 + \sin{2\alpha})} $
Сократим дробь на $ (1 + \sin{2\alpha}) $ (при условии, что $ 1 + \sin{2\alpha} \neq 0 $):
$ \frac{1}{1 - \sin{2\alpha}} $
Ответ: $ \frac{1}{1 - \sin{2\alpha}} $