Номер 26.3, страница 72, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Упростите выражения (26.3–26.4):

26.3. 1) $1 - 2\sin^2\alpha$;

2) $2\cos^2\alpha - 1$;

3) $\operatorname{ctg}\alpha - \operatorname{tg}\alpha$;

4) $\frac{1 - \operatorname{tg}^2\alpha}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha}$;

5) $\operatorname{tg}2\alpha (1 - \operatorname{tg}^2\alpha)$.

1) Используем формулу косинуса двойного угла: $cos(2\alpha) = cos^2\alpha - sin^2\alpha$. Зная основное тригонометрическое тождество $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$, выразим $cos^2\alpha = 1 - sin^2\alpha$. Подставим в формулу косинуса двойного угла: $cos(2\alpha) = (1 - sin^2\alpha) - sin^2\alpha = 1 - 2sin^2\alpha$. Таким образом, выражение $1 - 2sin^2\alpha$ равно $cos(2\alpha)$.
Ответ: $cos(2\alpha)$

2) Это еще одна форма формулы косинуса двойного угла: $cos(2\alpha) = cos^2\alpha - sin^2\alpha$. Из основного тригонометрического тождества $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$ выразим $sin^2\alpha = 1 - cos^2\alpha$. Подставим в формулу косинуса двойного угла: $cos(2\alpha) = cos^2\alpha - (1 - cos^2\alpha) = cos^2\alpha - 1 + cos^2\alpha = 2cos^2\alpha - 1$. Следовательно, выражение $2cos^2\alpha - 1$ равно $cos(2\alpha)$.
Ответ: $cos(2\alpha)$

3) Представим котангенс и тангенс через синус и косинус: $ctg\alpha = \frac{cos\alpha}{sin\alpha}$ и $tg\alpha = \frac{sin\alpha}{cos\alpha}$. $ctg\alpha - tg\alpha = \frac{cos\alpha}{sin\alpha} - \frac{sin\alpha}{cos\alpha}$. Приведем к общему знаменателю $sin\alpha \cdot cos\alpha$: $\frac{cos^2\alpha - sin^2\alpha}{sin\alpha \cdot cos\alpha}$. В числителе мы видим формулу косинуса двойного угла: $cos^2\alpha - sin^2\alpha = cos(2\alpha)$. Знаменатель связан с формулой синуса двойного угла: $sin(2\alpha) = 2sin\alpha \cdot cos\alpha$, откуда $sin\alpha \cdot cos\alpha = \frac{1}{2}sin(2\alpha)$. Подставим эти выражения в дробь: $\frac{cos(2\alpha)}{\frac{1}{2}sin(2\alpha)} = 2\frac{cos(2\alpha)}{sin(2\alpha)} = 2ctg(2\alpha)$.
Ответ: $2ctg(2\alpha)$

4) Это одна из формул косинуса двойного угла через тангенс. Выведем ее. Представим тангенс через синус и косинус: $tg^2\alpha = \frac{sin^2\alpha}{cos^2\alpha}$. $\frac{1 - tg^2\alpha}{1 + tg^2\alpha} = \frac{1 - \frac{sin^2\alpha}{cos^2\alpha}}{1 + \frac{sin^2\alpha}{cos^2\alpha}} = \frac{\frac{cos^2\alpha - sin^2\alpha}{cos^2\alpha}}{\frac{cos^2\alpha + sin^2\alpha}{cos^2\alpha}}$. Знаменатель дроби в знаменателе $cos^2\alpha + sin^2\alpha = 1$. Выражение упрощается до: $\frac{\frac{cos^2\alpha - sin^2\alpha}{cos^2\alpha}}{\frac{1}{cos^2\alpha}} = cos^2\alpha - sin^2\alpha$. А это формула косинуса двойного угла $cos(2\alpha)$.
Ответ: $cos(2\alpha)$

5) Используем формулу тангенса двойного угла: $tg(2\alpha) = \frac{2tg\alpha}{1 - tg^2\alpha}$. Подставим эту формулу в исходное выражение: $tg(2\alpha)(1 - tg^2\alpha) = \frac{2tg\alpha}{1 - tg^2\alpha} \cdot (1 - tg^2\alpha)$. При условии, что $1 - tg^2\alpha \ne 0$ (то есть $\alpha \ne \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$), множители $(1 - tg^2\alpha)$ сокращаются. В результате получаем $2tg\alpha$.
Ответ: $2tg\alpha$