Номер 25.18, страница 66, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

25.18. Постройте график функции и укажите множество значений:

1) $y = x^2 + 3|x|$;

2) $y = -x^2 + 2|x|$;

3) $y = 2x^2 - 3|x - 1|$;

4) $y = -2x^2 + |x + 1|$.

1) $y = x^2 + 3|x|$

Данная функция является четной, так как $y(-x) = (-x)^2 + 3|-x| = x^2 + 3|x| = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат (оси $Oy$).

Рассмотрим функцию для $x \ge 0$. В этом случае $|x| = x$, и функция принимает вид: $y = x^2 + 3x$.

Это парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем координаты ее вершины: $x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-3}{2 \cdot 1} = -1.5$. Эта точка не принадлежит промежутку $x \ge 0$. На промежутке $[0, +\infty)$ функция $y = x^2 + 3x$ возрастает. Минимальное значение на этом промежутке достигается в точке $x=0$, $y(0) = 0^2 + 3 \cdot 0 = 0$.

Таким образом, для $x \ge 0$ мы строим часть параболы $y = x^2 + 3x$, которая начинается в точке $(0,0)$ и идет вверх. Затем мы отражаем эту часть графика симметрично относительно оси $Oy$, чтобы получить график для $x < 0$. Итоговый график состоит из двух ветвей парабол, соединяющихся в точке $(0,0)$, которая является точкой минимума функции.

График функции:

Из графика видно, что минимальное значение функции равно 0, а максимального значения не существует, так как ветви уходят в бесконечность. Следовательно, множество значений функции — это все неотрицательные числа.

Ответ: множество значений $E(y) = [0, +\infty)$.

2) $y = -x^2 + 2|x|$

Данная функция является четной, так как $y(-x) = -(-x)^2 + 2|-x| = -x^2 + 2|x| = y(x)$. График функции симметричен относительно оси $Oy$.

Рассмотрим функцию для $x \ge 0$. В этом случае $|x| = x$, и функция принимает вид: $y = -x^2 + 2x$.

Это парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем координаты ее вершины: $x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-2}{2 \cdot (-1)} = 1$. Эта точка принадлежит промежутку $x \ge 0$. Значение функции в вершине: $y_v = y(1) = -1^2 + 2 \cdot 1 = 1$. Таким образом, точка $(1,1)$ является вершиной параболы и точкой максимума для $x \ge 0$.

Для построения графика мы строим часть параболы $y = -x^2 + 2x$ для $x \ge 0$. Она начинается в точке $(0,0)$, достигает максимума в точке $(1,1)$, пересекает ось $Ox$ в точке $(2,0)$ и уходит вниз. Затем отражаем эту часть графика симметрично относительно оси $Oy$. Полученный график будет иметь два максимума в точках $(1,1)$ и $(-1,1)$.

График функции:

Из графика видно, что максимальное значение функции равно 1, а минимального значения не существует. Следовательно, множество значений функции — это все числа, не превосходящие 1.

Ответ: множество значений $E(y) = (-\infty, 1]$.

3) $y = 2x^2 - 3|x-1|$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $x - 1 \ge 0$, то есть $x \ge 1$. Тогда $|x-1| = x-1$.$y = 2x^2 - 3(x-1) = 2x^2 - 3x + 3$.Это парабола с ветвями вверх. Вершина: $x_v = \frac{-(-3)}{2 \cdot 2} = \frac{3}{4} = 0.75$. Эта точка не входит в промежуток $x \ge 1$. На этом промежутке функция возрастает. В точке $x=1$ значение функции $y(1) = 2(1)^2 - 3(1) + 3 = 2$.

Случай 2: $x - 1 < 0$, то есть $x < 1$. Тогда $|x-1| = -(x-1) = 1-x$.$y = 2x^2 - 3(1-x) = 2x^2 + 3x - 3$.Это парабола с ветвями вверх. Вершина: $x_v = \frac{-3}{2 \cdot 2} = -\frac{3}{4} = -0.75$. Эта точка входит в промежуток $x < 1$. Это точка минимума.$y_v = y(-0.75) = 2(-0.75)^2 + 3(-0.75) - 3 = 2(\frac{9}{16}) - \frac{9}{4} - 3 = \frac{9}{8} - \frac{18}{8} - \frac{24}{8} = -\frac{33}{8} = -4.125$.

График состоит из двух частей парабол, стыкующихся в точке $(1, 2)$. Общий минимум функции достигается в вершине второй параболы.

График функции:

Минимальное значение функции равно $-4.125$. Максимального значения не существует.

Ответ: множество значений $E(y) = [-4.125, +\infty)$.

4) $y = -2x^2 + |x+1|$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $x + 1 \ge 0$, то есть $x \ge -1$. Тогда $|x+1| = x+1$.$y = -2x^2 + (x+1) = -2x^2 + x + 1$.Это парабола с ветвями вниз. Вершина: $x_v = \frac{-1}{2 \cdot (-2)} = \frac{1}{4} = 0.25$. Эта точка входит в промежуток $x \ge -1$. Это точка максимума.$y_v = y(0.25) = -2(0.25)^2 + 0.25 + 1 = -2(\frac{1}{16}) + \frac{1}{4} + 1 = -\frac{1}{8} + \frac{2}{8} + \frac{8}{8} = \frac{9}{8} = 1.125$.

Случай 2: $x + 1 < 0$, то есть $x < -1$. Тогда $|x+1| = -(x+1)$.$y = -2x^2 - (x+1) = -2x^2 - x - 1$.Это парабола с ветвями вниз. Вершина: $x_v = \frac{-(-1)}{2 \cdot (-2)} = -\frac{1}{4} = -0.25$. Эта точка не входит в промежуток $x < -1$. На этом промежутке функция возрастает до точки $x=-1$. В точке $x=-1$ значение функции $y(-1) = -2(-1)^2 - (-1) - 1 = -2$.

График состоит из двух частей парабол, стыкующихся в точке $(-1, -2)$. Общий максимум функции достигается в вершине первой параболы.

График функции:

Максимальное значение функции равно $1.125$. Минимального значения не существует.

Ответ: множество значений $E(y) = (-\infty, 1.125]$.