Номер 25.12, страница 66, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

25.12. Упростите выражение:

1) $(\operatorname{tg}\alpha - 1) \cdot \operatorname{tg}\beta + (\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta) \cdot \operatorname{ctg}(\alpha + \beta);$

2) $1 - \frac{\operatorname{tg}(\alpha + \beta) - \operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}\beta}{\operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{tg}(\alpha + \beta)}.$

1) Упростим выражение $(\tg\alpha - 1) \cdot \tg\beta + (\tg\alpha + \tg\beta) \cdot \ctg(\alpha + \beta)$.
Сначала раскроем скобки в первом слагаемом:
$(\tg\alpha - 1) \cdot \tg\beta = \tg\alpha \tg\beta - \tg\beta$.
Далее преобразуем второе слагаемое. Воспользуемся формулой котангенса суммы, выраженной через тангенсы: $\ctg(\alpha + \beta) = \frac{1 - \tg\alpha \tg\beta}{\tg\alpha + \tg\beta}$.
Подставим это выражение во второе слагаемое:
$(\tg\alpha + \tg\beta) \cdot \frac{1 - \tg\alpha \tg\beta}{\tg\alpha + \tg\beta} = 1 - \tg\alpha \tg\beta$.
Теперь сложим обе преобразованные части:
$(\tg\alpha \tg\beta - \tg\beta) + (1 - \tg\alpha \tg\beta) = \tg\alpha \tg\beta - \tg\beta + 1 - \tg\alpha \tg\beta = 1 - \tg\beta$.
Ответ: $1 - \tg\beta$.

2) Упростим выражение $1 - \frac{\tg(\alpha + \beta) - \tg\alpha - \tg\beta}{\tg\alpha \cdot \tg(\alpha + \beta)}$.
Рассмотрим дробь. Преобразуем ее числитель, $\tg(\alpha + \beta) - \tg\alpha - \tg\beta$, который можно записать как $\tg(\alpha + \beta) - (\tg\alpha + \tg\beta)$.
Воспользуемся формулой тангенса суммы: $\tg(\alpha + \beta) = \frac{\tg\alpha + \tg\beta}{1 - \tg\alpha \tg\beta}$.
Из этой формулы выразим сумму тангенсов: $\tg\alpha + \tg\beta = \tg(\alpha + \beta)(1 - \tg\alpha \tg\beta)$.
Подставим это выражение в числитель:
$\tg(\alpha + \beta) - \tg(\alpha + \beta)(1 - \tg\alpha \tg\beta)$.
Вынесем общий множитель $\tg(\alpha + \beta)$ за скобки:
$\tg(\alpha + \beta)[1 - (1 - \tg\alpha \tg\beta)] = \tg(\alpha + \beta)(1 - 1 + \tg\alpha \tg\beta) = \tg(\alpha + \beta) \cdot \tg\alpha \tg\beta$.
Теперь подставим упрощенный числитель обратно в дробь:
$\frac{\tg(\alpha + \beta) \cdot \tg\alpha \tg\beta}{\tg\alpha \cdot \tg(\alpha + \beta)}$.
После сокращения на $\tg\alpha \cdot \tg(\alpha + \beta)$ (при условии, что эти выражения не равны нулю), дробь становится равной $\tg\beta$.
Таким образом, исходное выражение принимает вид: $1 - \tg\beta$.
Ответ: $1 - \tg\beta$.