Номер 25.11, страница 66, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

25.11. Докажите, что если $\alpha$ и $\beta$ — углы I четверти, то верно неравенство:

1) $\sin (\alpha + \beta) < \sin\alpha + \sin\beta;$

2) $\sin (\alpha + \beta) < \cos\alpha + \cos\beta;$

3) $\cos (\alpha - \beta) < \cos\alpha + \sin\beta;$

4) $\tan (\alpha + \beta) > \tan\alpha + \tan\beta.$

По условию, $\alpha$ и $\beta$ — углы I четверти. Это означает, что $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ и $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$.Для таких углов все их основные тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс) положительны.Также из этих условий следует, что $0 < \sin\alpha < 1$, $0 < \cos\alpha < 1$, $0 < \sin\beta < 1$, $0 < \cos\beta < 1$.

1) $\sin(\alpha + \beta) < \sin\alpha + \sin\beta$

Распишем левую часть по формуле синуса суммы:

$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$.

Так как $\beta$ — угол I четверти, то $0 < \cos\beta < 1$. Умножив это неравенство на положительное число $\sin\alpha$, получим:

$\sin\alpha \cos\beta < \sin\alpha \cdot 1$, то есть $\sin\alpha \cos\beta < \sin\alpha$.

Аналогично, так как $\alpha$ — угол I четверти, то $0 < \cos\alpha < 1$. Умножив это неравенство на положительное число $\sin\beta$, получим:

$\cos\alpha \sin\beta < 1 \cdot \sin\beta$, то есть $\cos\alpha \sin\beta < \sin\beta$.

Сложив два полученных неравенства, имеем:

$\sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta < \sin\alpha + \sin\beta$.

Следовательно, $\sin(\alpha + \beta) < \sin\alpha + \sin\beta$, что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.

2) $\sin(\alpha + \beta) < \cos\alpha + \cos\beta$

Снова используем формулу синуса суммы: $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$.

Так как $\alpha$ — угол I четверти, то $0 < \sin\alpha < 1$. Умножив это неравенство на положительное число $\cos\beta$, получим:

$\sin\alpha \cos\beta < 1 \cdot \cos\beta$, то есть $\sin\alpha \cos\beta < \cos\beta$.

Аналогично, так как $\beta$ — угол I четверти, то $0 < \sin\beta < 1$. Умножив это неравенство на положительное число $\cos\alpha$, получим:

$\cos\alpha \sin\beta < \cos\alpha \cdot 1$, то есть $\cos\alpha \sin\beta < \cos\alpha$.

Сложив эти два неравенства, получаем:

$\sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta < \cos\beta + \cos\alpha$.

Следовательно, $\sin(\alpha + \beta) < \cos\alpha + \cos\beta$, что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.

3) $\cos(\alpha - \beta) < \cos\alpha + \sin\beta$

Распишем левую часть по формуле косинуса разности:

$\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta$.

Так как $\beta$ — угол I четверти, $0 < \cos\beta < 1$. Умножив на $\cos\alpha > 0$, имеем:

$\cos\alpha \cos\beta < \cos\alpha \cdot 1$, то есть $\cos\alpha \cos\beta < \cos\alpha$.

Так как $\alpha$ — угол I четверти, $0 < \sin\alpha < 1$. Умножив на $\sin\beta > 0$, имеем:

$\sin\alpha \sin\beta < 1 \cdot \sin\beta$, то есть $\sin\alpha \sin\beta < \sin\beta$.

Складывая полученные неравенства, получаем:

$\cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta < \cos\alpha + \sin\beta$.

Следовательно, $\cos(\alpha - \beta) < \cos\alpha + \sin\beta$, что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.

4) $\tan(\alpha + \beta) > \tan\alpha + \tan\beta$

Заметим, что данное неравенство в общем виде неверно для любых углов $\alpha$ и $\beta$ из I четверти. Например, если взять $\alpha = \frac{\pi}{3}$ и $\beta = \frac{\pi}{3}$, то оба угла находятся в I четверти. Их сумма $\alpha + \beta = \frac{2\pi}{3}$ находится во II четверти.

Левая часть неравенства: $\tan(\alpha + \beta) = \tan(\frac{2\pi}{3}) = -\sqrt{3}$.

Правая часть неравенства: $\tan\alpha + \tan\beta = \tan(\frac{\pi}{3}) + \tan(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3} + \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$.

Неравенство $-\sqrt{3} > 2\sqrt{3}$ является ложным.

Утверждение становится верным, если добавить условие, что сумма углов также находится в I четверти, то есть $\alpha + \beta < \frac{\pi}{2}$. Докажем неравенство при этом дополнительном условии.

Используем формулу тангенса суммы: $\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha \tan\beta}$.

Неравенство принимает вид: $\frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha \tan\beta} > \tan\alpha + \tan\beta$.

Поскольку $\alpha$ и $\beta$ — углы I четверти, $\tan\alpha > 0$ и $\tan\beta > 0$, следовательно, их сумма $\tan\alpha + \tan\beta > 0$. Мы можем разделить обе части неравенства на это положительное число:

$\frac{1}{1 - \tan\alpha \tan\beta} > 1$.

Так как $\alpha + \beta < \frac{\pi}{2}$, то $\tan(\alpha + \beta) > 0$. Из формулы тангенса суммы следует, что раз числитель $\tan\alpha + \tan\beta$ положителен, то и знаменатель $1 - \tan\alpha \tan\beta$ должен быть положителен.

Итак, $1 - \tan\alpha \tan\beta > 0$. Умножим обе части неравенства $\frac{1}{1 - \tan\alpha \tan\beta} > 1$ на этот положительный знаменатель:

$1 > 1 - \tan\alpha \tan\beta$.

Перенеся 1 в левую часть, получаем: $0 > - \tan\alpha \tan\beta$, что эквивалентно $\tan\alpha \tan\beta > 0$.

Это неравенство истинно, так как тангенсы углов I четверти положительны. Таким образом, исходное неравенство доказано при условии $\alpha + \beta < \frac{\pi}{2}$.

Ответ: Неравенство верно только при дополнительном условии $\alpha + \beta < \frac{\pi}{2}$. При этом условии оно доказано.