Номер 25.14, страница 66, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

25.14. Докажите тождество:

1) $\frac{\operatorname{tg} 4 \beta-\operatorname{tg} 3 \beta}{1+\operatorname{tg} 4 \beta \cdot \operatorname{tg} 3 \beta}=\operatorname{tg}(\beta-5 \pi)$;

2) $\frac{\operatorname{tg}^{2} 2 \beta-\operatorname{tg}^{2} \beta}{1-\operatorname{tg}^{2} 2 \beta \cdot \operatorname{tg}^{2} \beta}=\operatorname{tg} \beta \cdot \operatorname{tg} 3 \beta$.

1) Докажем тождество: $ \frac{\text{tg}4\beta - \text{tg}3\beta}{1 + \text{tg}4\beta \cdot \text{tg}3\beta} = \text{tg}(\beta - 5\pi) $.

Преобразуем левую часть равенства. Выражение в левой части соответствует формуле тангенса разности двух углов: $ \text{tg}(\alpha - \gamma) = \frac{\text{tg}\alpha - \text{tg}\gamma}{1 + \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\gamma} $.

В данном случае, пусть $ \alpha = 4\beta $ и $ \gamma = 3\beta $. Тогда левая часть принимает вид:

$ \frac{\text{tg}4\beta - \text{tg}3\beta}{1 + \text{tg}4\beta \cdot \text{tg}3\beta} = \text{tg}(4\beta - 3\beta) = \text{tg}\beta $.

Теперь преобразуем правую часть равенства. Используем свойство периодичности функции тангенса, период которой равен $ \pi $. Это означает, что $ \text{tg}(x + k\pi) = \text{tg}x $ для любого целого числа $ k $.

В нашем случае $ k = -5 $, поэтому:

$ \text{tg}(\beta - 5\pi) = \text{tg}\beta $.

Так как левая часть равна $ \text{tg}\beta $ и правая часть равна $ \text{tg}\beta $, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

2) Докажем тождество: $ \frac{\text{tg}^2 2\beta - \text{tg}^2 \beta}{1 - \text{tg}^2 2\beta \cdot \text{tg}^2 \beta} = \text{tg}\beta \cdot \text{tg}3\beta $.

Преобразуем левую часть равенства. Применим формулу разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $ к числителю и знаменателю дроби.

$ \frac{\text{tg}^2 2\beta - \text{tg}^2 \beta}{1 - \text{tg}^2 2\beta \cdot \text{tg}^2 \beta} = \frac{(\text{tg}2\beta - \text{tg}\beta)(\text{tg}2\beta + \text{tg}\beta)}{(1 - \text{tg}2\beta \cdot \text{tg}\beta)(1 + \text{tg}2\beta \cdot \text{tg}\beta)} $.

Сгруппируем множители следующим образом:

$ \left(\frac{\text{tg}2\beta - \text{tg}\beta}{1 + \text{tg}2\beta \cdot \text{tg}\beta}\right) \cdot \left(\frac{\text{tg}2\beta + \text{tg}\beta}{1 - \text{tg}2\beta \cdot \text{tg}\beta}\right) $.

Первый множитель представляет собой формулу тангенса разности углов:

$ \frac{\text{tg}2\beta - \text{tg}\beta}{1 + \text{tg}2\beta \cdot \text{tg}\beta} = \text{tg}(2\beta - \beta) = \text{tg}\beta $.

Второй множитель представляет собой формулу тангенса суммы углов:

$ \frac{\text{tg}2\beta + \text{tg}\beta}{1 - \text{tg}2\beta \cdot \text{tg}\beta} = \text{tg}(2\beta + \beta) = \text{tg}3\beta $.

Перемножая результаты, получаем:

$ \text{tg}\beta \cdot \text{tg}3\beta $.

Полученное выражение равно правой части исходного равенства, следовательно, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.