Номер 25.15, страница 66, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

25.15. Найдите множество значений выражения:

1) $sin\alpha + 2cos\alpha$;

2) $3sin\alpha - cos\alpha$;

3) $\sqrt{3} cos\gamma + sin\gamma$;

4) $sin\beta - \sqrt{3} cos\beta$;

5) $5sin\alpha - 4cos\alpha$;

6) $cos\gamma + 3sin\gamma$.

Для нахождения множества значений выражений вида $a \cdot \sin(x) + b \cdot \cos(x)$ используется метод введения вспомогательного угла. Этот метод заключается в преобразовании выражения к виду $R \sin(x+\phi)$ или $R \cos(x-\phi)$, где амплитуда $R = \sqrt{a^2+b^2}$. Преобразование основано на вынесении $R$ за скобки: $a \sin x + b \cos x = \sqrt{a^2+b^2} \left( \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin x + \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos x \right)$. Выражения в скобках можно представить как синус и косинус некоторого угла $\phi$, что позволяет применить формулу синуса или косинуса суммы/разности. Так как множество значений синуса (или косинуса) – это отрезок $[-1, 1]$, то множество значений исходного выражения равно отрезку $[-R, R]$, то есть $[-\sqrt{a^2+b^2}, \sqrt{a^2+b^2}]$.

1) $\sin\alpha + 2\cos\alpha$

В данном выражении коэффициенты при синусе и косинусе равны $a=1$ и $b=2$. Амплитуда $R$ вычисляется по формуле $R = \sqrt{a^2+b^2}$. Подставив значения, получим $R = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$. Таким образом, наименьшее значение выражения равно $-\sqrt{5}$, а наибольшее — $\sqrt{5}$. Множество значений — это отрезок от минимального до максимального значения.

Ответ: $[-\sqrt{5}, \sqrt{5}]$

2) $3\sin\alpha - \cos\alpha$

В этом выражении коэффициенты $a=3$ и $b=-1$. Вычислим амплитуду $R = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{9+1} = \sqrt{10}$. Множество значений выражения — это отрезок $[-R, R]$.

Ответ: $[-\sqrt{10}, \sqrt{10}]$

3) $\sqrt{3}\cos\gamma + \sin\gamma$

Перепишем выражение в стандартном виде: $1 \cdot \sin\gamma + \sqrt{3} \cdot \cos\gamma$. Здесь коэффициенты $a=1$ и $b=\sqrt{3}$. Вычислим амплитуду $R = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$. Множество значений выражения — это отрезок $[-R, R]$.

Ответ: $[-2, 2]$

4) $\sin\beta - \sqrt{3}\cos\beta$

В данном выражении коэффициенты $a=1$ и $b=-\sqrt{3}$. Вычислим амплитуду $R = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$. Множество значений выражения — это отрезок $[-R, R]$.

Ответ: $[-2, 2]$

5) $5\sin\alpha - 4\cos\alpha$

Здесь коэффициенты $a=5$ и $b=-4$. Вычислим амплитуду $R = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{5^2 + (-4)^2} = \sqrt{25+16} = \sqrt{41}$. Множество значений выражения — это отрезок $[-R, R]$.

Ответ: $[-\sqrt{41}, \sqrt{41}]$

6) $\cos\gamma + 3\sin\gamma$

Перепишем выражение в стандартном виде: $3 \cdot \sin\gamma + 1 \cdot \cos\gamma$. Здесь коэффициенты $a=3$ и $b=1$. Вычислим амплитуду $R = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9+1} = \sqrt{10}$. Множество значений выражения — это отрезок $[-R, R]$.

Ответ: $[-\sqrt{10}, \sqrt{10}]$