Номер 25.9, страница 65, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

25.9. Преобразуйте выражение:

1) $ \operatorname{tg}(45^\circ + a) \cdot \operatorname{tg}(45^\circ - a) $

2) $ \operatorname{tg}(a + 60^\circ) \cdot \operatorname{tg}(a - 60^\circ) $

3) $ \frac{1 - \operatorname{tg}\alpha}{1 + \operatorname{tg}\alpha} - \operatorname{tg}(45^\circ - a) $

4) $ \operatorname{tg}(45^\circ + a) - \frac{1 - \operatorname{tg}\alpha}{1 + \operatorname{tg}\alpha} $

1) Для преобразования выражения $tg(45^\circ + \alpha) \cdot tg(45^\circ - \alpha)$ воспользуемся формулами тангенса суммы и разности:

$tg(A+B) = \frac{tgA + tgB}{1 - tgA \cdot tgB}$

$tg(A-B) = \frac{tgA - tgB}{1 + tgA \cdot tgB}$

Зная, что $tg(45^\circ) = 1$, подставим значения в формулы:

$tg(45^\circ + \alpha) = \frac{tg(45^\circ) + tg\alpha}{1 - tg(45^\circ) \cdot tg\alpha} = \frac{1 + tg\alpha}{1 - tg\alpha}$

$tg(45^\circ - \alpha) = \frac{tg(45^\circ) - tg\alpha}{1 + tg(45^\circ) \cdot tg\alpha} = \frac{1 - tg\alpha}{1 + tg\alpha}$

Теперь перемножим полученные выражения:

$tg(45^\circ + \alpha) \cdot tg(45^\circ - \alpha) = \frac{1 + tg\alpha}{1 - tg\alpha} \cdot \frac{1 - tg\alpha}{1 + tg\alpha} = 1$

Числитель и знаменатель сокращаются.

Ответ: $1$

2) Преобразуем выражение $tg(\alpha + 60^\circ) \cdot tg(\alpha - 60^\circ)$. Используем те же формулы тангенса суммы и разности. Знаем, что $tg(60^\circ) = \sqrt{3}$.

$tg(\alpha + 60^\circ) = \frac{tg\alpha + tg(60^\circ)}{1 - tg\alpha \cdot tg(60^\circ)} = \frac{tg\alpha + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}tg\alpha}$

$tg(\alpha - 60^\circ) = \frac{tg\alpha - tg(60^\circ)}{1 + tg\alpha \cdot tg(60^\circ)} = \frac{tg\alpha - \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}tg\alpha}$

Перемножим эти два выражения:

$tg(\alpha + 60^\circ) \cdot tg(\alpha - 60^\circ) = \frac{tg\alpha + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}tg\alpha} \cdot \frac{tg\alpha - \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}tg\alpha}$

В числителе и знаменателе применяем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$\frac{(tg\alpha)^2 - (\sqrt{3})^2}{1^2 - (\sqrt{3}tg\alpha)^2} = \frac{tg^2\alpha - 3}{1 - 3tg^2\alpha}$

Ответ: $\frac{tg^2\alpha - 3}{1 - 3tg^2\alpha}$

3) Рассмотрим выражение $\frac{1 - tg\alpha}{1 + tg\alpha} - tg(45^\circ - \alpha)$.

Преобразуем первую дробь, используя тот факт, что $tg(45^\circ) = 1$:

$\frac{1 - tg\alpha}{1 + tg\alpha} = \frac{tg(45^\circ) - tg\alpha}{1 + tg(45^\circ) \cdot tg\alpha}$

Это выражение является формулой тангенса разности для $tg(45^\circ - \alpha)$.

Таким образом, исходное выражение принимает вид:

$tg(45^\circ - \alpha) - tg(45^\circ - \alpha) = 0$

Ответ: $0$

4) Рассмотрим выражение $tg(45^\circ + \alpha) - \frac{1 - tg\alpha}{1 + tg\alpha}$.

Как мы уже выяснили в предыдущих пунктах, оба члена этого выражения можно представить через формулы тангенса суммы и разности:

$tg(45^\circ + \alpha) = \frac{1 + tg\alpha}{1 - tg\alpha}$

$\frac{1 - tg\alpha}{1 + tg\alpha} = tg(45^\circ - \alpha)$

Подставим первое представление в выражение:

$\frac{1 + tg\alpha}{1 - tg\alpha} - \frac{1 - tg\alpha}{1 + tg\alpha}$

Приведем дроби к общему знаменателю $(1 - tg\alpha)(1 + tg\alpha) = 1 - tg^2\alpha$:

$\frac{(1 + tg\alpha)^2 - (1 - tg\alpha)^2}{(1 - tg\alpha)(1 + tg\alpha)} = \frac{(1 + 2tg\alpha + tg^2\alpha) - (1 - 2tg\alpha + tg^2\alpha)}{1 - tg^2\alpha}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{1 + 2tg\alpha + tg^2\alpha - 1 + 2tg\alpha - tg^2\alpha}{1 - tg^2\alpha} = \frac{4tg\alpha}{1 - tg^2\alpha}$

Это выражение можно упростить, используя формулу тангенса двойного угла $tg(2\alpha) = \frac{2tg\alpha}{1 - tg^2\alpha}$:

$\frac{4tg\alpha}{1 - tg^2\alpha} = 2 \cdot \frac{2tg\alpha}{1 - tg^2\alpha} = 2tg(2\alpha)$

Ответ: $2tg(2\alpha)$