Номер 25.3, страница 64, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

25.3. Используя формулы сложения для тангенса и котангенса, найдите значения:

1) $ \text{tg}15^\circ $;

2) $ \text{ctg}15^\circ $;

3) $ \text{tg}75^\circ $;

4) $ \text{tg}105^\circ $;

5) $ \text{ctg}75^\circ $;

6) $ \text{ctg}105^\circ $.

1) tg15°
Для нахождения значения $\tg(15^{\circ})$, представим угол $15^{\circ}$ как разность двух стандартных углов: $15^{\circ} = 45^{\circ} - 30^{\circ}$.
Применим формулу тангенса разности: $\tg(\alpha - \beta) = \frac{\tg\alpha - \tg\beta}{1 + \tg\alpha \tg\beta}$.
$\tg(15^{\circ}) = \tg(45^{\circ} - 30^{\circ}) = \frac{\tg(45^{\circ}) - \tg(30^{\circ})}{1 + \tg(45^{\circ})\tg(30^{\circ})}$.
Подставим известные значения $\tg(45^{\circ}) = 1$ и $\tg(30^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$:
$\tg(15^{\circ}) = \frac{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$.
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{3}-1)$:
$\frac{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{(\sqrt{3}-1)^2}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}$.
Ответ: $2 - \sqrt{3}$.

2) ctg15°
Представим угол $15^{\circ}$ как разность $45^{\circ} - 30^{\circ}$.
Применим формулу котангенса разности: $\ctg(\alpha - \beta) = \frac{\ctg\alpha \ctg\beta + 1}{\ctg\beta - \ctg\alpha}$.
$\ctg(15^{\circ}) = \ctg(45^{\circ} - 30^{\circ}) = \frac{\ctg(45^{\circ})\ctg(30^{\circ}) + 1}{\ctg(30^{\circ}) - \ctg(45^{\circ})}$.
Подставим известные значения $\ctg(45^{\circ}) = 1$ и $\ctg(30^{\circ}) = \sqrt{3}$:
$\ctg(15^{\circ}) = \frac{1 \cdot \sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1} = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$.
Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{3}+1)$:
$\frac{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{(\sqrt{3}+1)^2}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}$.
Ответ: $2 + \sqrt{3}$.

3) tg75°
Представим угол $75^{\circ}$ как сумму $45^{\circ} + 30^{\circ}$.
Применим формулу тангенса суммы: $\tg(\alpha + \beta) = \frac{\tg\alpha + \tg\beta}{1 - \tg\alpha \tg\beta}$.
$\tg(75^{\circ}) = \tg(45^{\circ} + 30^{\circ}) = \frac{\tg(45^{\circ}) + \tg(30^{\circ})}{1 - \tg(45^{\circ})\tg(30^{\circ})}$.
Подставим известные значения $\tg(45^{\circ}) = 1$ и $\tg(30^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$:
$\tg(75^{\circ}) = \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$.
Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{3}+1)$:
$\frac{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{(\sqrt{3}+1)^2}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}$.
Ответ: $2 + \sqrt{3}$.

4) tg105°
Представим угол $105^{\circ}$ как сумму $60^{\circ} + 45^{\circ}$.
Применим формулу тангенса суммы: $\tg(\alpha + \beta) = \frac{\tg\alpha + \tg\beta}{1 - \tg\alpha \tg\beta}$.
$\tg(105^{\circ}) = \tg(60^{\circ} + 45^{\circ}) = \frac{\tg(60^{\circ}) + \tg(45^{\circ})}{1 - \tg(60^{\circ})\tg(45^{\circ})}$.
Подставим известные значения $\tg(60^{\circ}) = \sqrt{3}$ и $\tg(45^{\circ}) = 1$:
$\tg(105^{\circ}) = \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3} \cdot 1} = \frac{1+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}$.
Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(1+\sqrt{3})$:
$\frac{(1+\sqrt{3})(1+\sqrt{3})}{(1-\sqrt{3})(1+\sqrt{3})} = \frac{1^2 + 2\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2}{1^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{1 + 2\sqrt{3} + 3}{1 - 3} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{-2} = -(2 + \sqrt{3}) = -2 - \sqrt{3}$.
Ответ: $-2 - \sqrt{3}$.

5) ctg75°
Представим угол $75^{\circ}$ как сумму $45^{\circ} + 30^{\circ}$.
Применим формулу котангенса суммы: $\ctg(\alpha + \beta) = \frac{\ctg\alpha \ctg\beta - 1}{\ctg\alpha + \ctg\beta}$.
$\ctg(75^{\circ}) = \ctg(45^{\circ} + 30^{\circ}) = \frac{\ctg(45^{\circ})\ctg(30^{\circ}) - 1}{\ctg(45^{\circ}) + \ctg(30^{\circ})}$.
Подставим известные значения $\ctg(45^{\circ}) = 1$ и $\ctg(30^{\circ}) = \sqrt{3}$:
$\ctg(75^{\circ}) = \frac{1 \cdot \sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$.
Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{3}-1)$:
$\frac{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{(\sqrt{3}-1)^2}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}$.
Ответ: $2 - \sqrt{3}$.

6) ctg105°
Представим угол $105^{\circ}$ как сумму $60^{\circ} + 45^{\circ}$.
Применим формулу котангенса суммы: $\ctg(\alpha + \beta) = \frac{\ctg\alpha \ctg\beta - 1}{\ctg\alpha + \ctg\beta}$.
$\ctg(105^{\circ}) = \ctg(60^{\circ} + 45^{\circ}) = \frac{\ctg(60^{\circ})\ctg(45^{\circ}) - 1}{\ctg(60^{\circ}) + \ctg(45^{\circ})}$.
Подставим известные значения $\ctg(60^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ и $\ctg(45^{\circ}) = 1$:
$\ctg(105^{\circ}) = \frac{\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot 1 - 1}{\frac{1}{\sqrt{3}} + 1} = \frac{\frac{1-\sqrt{3}}{\sqrt{3}}}{\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}} = \frac{1-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}$.
Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(1-\sqrt{3})$:
$\frac{(1-\sqrt{3})(1-\sqrt{3})}{(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})} = \frac{1^2 - 2\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2}{1^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{1 - 2\sqrt{3} + 3}{1 - 3} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{-2} = \frac{2(2 - \sqrt{3})}{-2} = -(2 - \sqrt{3}) = \sqrt{3} - 2$.
Ответ: $\sqrt{3} - 2$.