Номер 24.28, страница 63, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

24.28. Найдите значение $tg\alpha$ и $ctg\alpha$, если $sin\alpha = \frac{2}{5}$ и $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$.

По условию задачи дано, что $ \sin a = \frac{2}{5} $ и угол $a$ находится в интервале $ \frac{\pi}{2} < a < \pi $. Это означает, что угол $a$ расположен во второй координатной четверти.

Во второй четверти значение синуса положительно (что соответствует условию), а значения косинуса, тангенса и котангенса — отрицательны.

1. Найдем значение $ \cos a $

Для нахождения косинуса воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $ \sin^2 a + \cos^2 a = 1 $.

Выразим из этой формулы $ \cos^2 a $:

$ \cos^2 a = 1 - \sin^2 a $

Подставим известное значение $ \sin a = \frac{2}{5} $:

$ \cos^2 a = 1 - \left(\frac{2}{5}\right)^2 = 1 - \frac{4}{25} = \frac{25-4}{25} = \frac{21}{25} $

Из этого следует, что $ \cos a = \pm\sqrt{\frac{21}{25}} = \pm\frac{\sqrt{21}}{5} $.

Поскольку угол $a$ находится во второй четверти, его косинус должен быть отрицательным. Следовательно, мы выбираем значение со знаком минус:

$ \cos a = -\frac{\sqrt{21}}{5} $

2. Найдем значения $ \text{tg}\,a $ и $ \text{ctg}\,a $

Теперь, когда известны синус и косинус, мы можем вычислить тангенс и котангенс.

Тангенс угла определяется как отношение синуса к косинусу:

$ \text{tg}\,a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{\frac{2}{5}}{-\frac{\sqrt{21}}{5}} = -\frac{2}{\sqrt{21}} $

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на $ \sqrt{21} $:

$ \text{tg}\,a = -\frac{2 \cdot \sqrt{21}}{\sqrt{21} \cdot \sqrt{21}} = -\frac{2\sqrt{21}}{21} $

Котангенс — это величина, обратная тангенсу ($ \text{ctg}\,a = \frac{1}{\text{tg}\,a} $). Рассчитаем его:

$ \text{ctg}\,a = \frac{1}{-\frac{2}{\sqrt{21}}} = -\frac{\sqrt{21}}{2} $

Проверить результат можно также по формуле $ \text{ctg}\,a = \frac{\cos a}{\sin a} $:

$ \text{ctg}\,a = \frac{-\frac{\sqrt{21}}{5}}{\frac{2}{5}} = -\frac{\sqrt{21}}{2} $

Ответ: $ \text{tg}\,a = -\frac{2\sqrt{21}}{21} $, $ \text{ctg}\,a = -\frac{\sqrt{21}}{2} $.