Номер 25.1, страница 64, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

25.1. Известно, что $tg\alpha = \frac{1}{3}$, $tg\beta = \frac{3}{5}$. Найдите:

1) $tg(\alpha + \beta)$; 2) $tg(\alpha - \beta)$; 3) $ctg(\alpha + \beta)$; 4) $ctg(\alpha - \beta)$.

1) tg(α + β)

Для нахождения тангенса суммы воспользуемся формулой сложения аргументов для тангенса:

$tg(\alpha + \beta) = \frac{tg\alpha + tg\beta}{1 - tg\alpha \cdot tg\beta}$

Подставим в формулу известные значения $tg\alpha = \frac{1}{3}$ и $tg\beta = \frac{3}{5}$:

$tg(\alpha + \beta) = \frac{\frac{1}{3} + \frac{3}{5}}{1 - \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5}} = \frac{\frac{5+9}{15}}{1 - \frac{3}{15}} = \frac{\frac{14}{15}}{\frac{15-3}{15}} = \frac{\frac{14}{15}}{\frac{12}{15}} = \frac{14}{12} = \frac{7}{6}$

Ответ: $\frac{7}{6}$.

2) tg(α - β)

Для нахождения тангенса разности воспользуемся соответствующей формулой:

$tg(\alpha - \beta) = \frac{tg\alpha - tg\beta}{1 + tg\alpha \cdot tg\beta}$

Подставим в формулу известные значения:

$tg(\alpha - \beta) = \frac{\frac{1}{3} - \frac{3}{5}}{1 + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5}} = \frac{\frac{5-9}{15}}{1 + \frac{3}{15}} = \frac{-\frac{4}{15}}{\frac{15+3}{15}} = \frac{-\frac{4}{15}}{\frac{18}{15}} = -\frac{4}{18} = -\frac{2}{9}$

Ответ: $-\frac{2}{9}$.

3) ctg(α + β)

Котангенс является обратной функцией к тангенсу, поэтому воспользуемся соотношением $ctg(\alpha + \beta) = \frac{1}{tg(\alpha + \beta)}$.

Используя результат, полученный в пункте 1, $tg(\alpha + \beta) = \frac{7}{6}$, находим:

$ctg(\alpha + \beta) = \frac{1}{\frac{7}{6}} = \frac{6}{7}$

Ответ: $\frac{6}{7}$.

4) ctg(α - β)

Аналогично предыдущему пункту, воспользуемся соотношением $ctg(\alpha - \beta) = \frac{1}{tg(\alpha - \beta)}$.

Используя результат, полученный в пункте 2, $tg(\alpha - \beta) = -\frac{2}{9}$, находим:

$ctg(\alpha - \beta) = \frac{1}{-\frac{2}{9}} = -\frac{9}{2}$

Ответ: $-\frac{9}{2}$.