Номер 24.27, страница 63, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

24.27. Упростите выражение:

1) $1 - \operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{tg}\beta;$

2) $\operatorname{ctg}\alpha \cdot \operatorname{tg}\beta - 1.$

1) Для упрощения выражения $1 - \tan\alpha \cdot \tan\beta$ воспользуемся определениями тангенса через синус и косинус: $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$.
$1 - \tan\alpha \cdot \tan\beta = 1 - \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot \frac{\sin\beta}{\cos\beta}$
Приведем выражение к общему знаменателю $\cos\alpha \cos\beta$:
$1 - \frac{\sin\alpha \sin\beta}{\cos\alpha \cos\beta} = \frac{\cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta}{\cos\alpha \cos\beta}$
В числителе мы получили формулу косинуса суммы двух углов: $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$.
Подставим эту формулу в наше выражение:
$\frac{\cos(\alpha + \beta)}{\cos\alpha \cos\beta}$
Ответ: $\frac{\cos(\alpha + \beta)}{\cos\alpha \cos\beta}$

2) Для упрощения выражения $\cot\alpha \cdot \tan\beta - 1$ воспользуемся определениями котангенса и тангенса: $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$ и $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$.
$\cot\alpha \cdot \tan\beta - 1 = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \cdot \frac{\sin\beta}{\cos\beta} - 1$
Приведем выражение к общему знаменателю $\sin\alpha \cos\beta$:
$\frac{\cos\alpha \sin\beta}{\sin\alpha \cos\beta} - 1 = \frac{\cos\alpha \sin\beta - \sin\alpha \cos\beta}{\sin\alpha \cos\beta}$
В числителе мы получили формулу синуса разности углов: $\sin\beta \cos\alpha - \cos\beta \sin\alpha = \sin(\beta - \alpha)$.
Подставим эту формулу в наше выражение:
$\frac{\sin(\beta - \alpha)}{\sin\alpha \cos\beta}$
Ответ: $\frac{\sin(\beta - \alpha)}{\sin\alpha \cos\beta}$