Номер 24.20, страница 62, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

24.20. Значения косинусов двух углов треугольника равны $\frac{2}{3}$ и $\frac{1}{3}$.

Найдите значение косинуса третьего угла треугольника.

Пусть углы треугольника равны $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. По условию задачи, нам даны косинусы двух углов: $\cos \alpha = \frac{2}{3}$ и $\cos \beta = \frac{1}{3}$.

Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$ или $\pi$ радиан. Следовательно, мы можем записать: $\alpha + \beta + \gamma = \pi$

Выразим третий угол $\gamma$ через два других: $\gamma = \pi - (\alpha + \beta)$

Чтобы найти косинус третьего угла, воспользуемся формулой приведения $\cos(\pi - x) = -\cos(x)$: $\cos \gamma = \cos(\pi - (\alpha + \beta)) = -\cos(\alpha + \beta)$

Теперь нам нужно найти $\cos(\alpha + \beta)$. Для этого применим формулу косинуса суммы: $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$

Значения $\cos \alpha$ и $\cos \beta$ нам известны. Найдем значения $\sin \alpha$ и $\sin \beta$, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Отсюда $\sin x = \sqrt{1 - \cos^2 x}$. Знак перед корнем выбираем положительный, так как углы треугольника находятся в интервале $(0, \pi)$, а синус в этом интервале всегда положителен.

Вычисляем $\sin \alpha$: $\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - \left(\frac{2}{3}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$

Вычисляем $\sin \beta$: $\sin \beta = \sqrt{1 - \cos^2 \beta} = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{\sqrt{8}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

Теперь подставляем все известные значения в формулу для $\cos(\alpha + \beta)$: $\cos(\alpha + \beta) = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{5}}{3} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{2}{9} - \frac{2\sqrt{10}}{9} = \frac{2 - 2\sqrt{10}}{9}$

Наконец, находим косинус третьего угла $\gamma$: $\cos \gamma = -\cos(\alpha + \beta) = -\left(\frac{2 - 2\sqrt{10}}{9}\right) = \frac{-(2 - 2\sqrt{10})}{9} = \frac{2\sqrt{10} - 2}{9}$

Ответ: $\frac{2\sqrt{10} - 2}{9}$