Номер 24.22, страница 62, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

24.22. Решите систему уравнений:

1) $ \begin{cases} x + y - 5xy = 0, \\ x - y - xy = 0; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} x^2 - x + 1 = y, \\ y^2 - y + 1 = x. \end{cases} $

1)

Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} x + y - 5xy = 0 \\ x - y - xy = 0 \end{cases} $

Сложим первое и второе уравнения системы:

$(x + y - 5xy) + (x - y - xy) = 0 + 0$

$2x - 6xy = 0$

Вынесем общий множитель $2x$ за скобки:

$2x(1 - 3y) = 0$

Это уравнение выполняется в двух случаях:

Случай 1: $2x = 0$, откуда $x = 0$.

Случай 2: $1 - 3y = 0$, откуда $3y = 1$ и $y = \frac{1}{3}$.

Рассмотрим каждый случай отдельно.

Случай 1: $x = 0$

Подставим значение $x = 0$ во второе уравнение исходной системы $x - y - xy = 0$:

$0 - y - 0 \cdot y = 0$

$-y = 0$

$y = 0$

Получили решение $(0, 0)$. Проверим его, подставив в первое уравнение системы $x + y - 5xy = 0$:

$0 + 0 - 5 \cdot 0 \cdot 0 = 0$

$0 = 0$. Равенство верное, значит, пара $(0, 0)$ является решением.

Случай 2: $y = \frac{1}{3}$

Подставим значение $y = \frac{1}{3}$ во второе уравнение исходной системы $x - y - xy = 0$:

$x - \frac{1}{3} - x \cdot \frac{1}{3} = 0$

$x - \frac{1}{3} - \frac{x}{3} = 0$

Умножим обе части уравнения на 3, чтобы избавиться от дробей:

$3x - 1 - x = 0$

$2x - 1 = 0$

$2x = 1$

$x = \frac{1}{2}$

Получили решение $(\frac{1}{2}, \frac{1}{3})$. Проверим его, подставив в первое уравнение системы $x + y - 5xy = 0$:

$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} - 5 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = 0$

$\frac{3+2}{6} - \frac{5}{6} = 0$

$\frac{5}{6} - \frac{5}{6} = 0$

$0 = 0$. Равенство верное, значит, пара $(\frac{1}{2}, \frac{1}{3})$ является решением.

Ответ: $(0, 0)$, $(\frac{1}{2}, \frac{1}{3})$.

2)

Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 - x + 1 = y \\ y^2 - y + 1 = x \end{cases} $

Вычтем из первого уравнения второе:

$(x^2 - x + 1) - (y^2 - y + 1) = y - x$

$x^2 - x + 1 - y^2 + y - 1 = y - x$

$x^2 - y^2 - x + y = y - x$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$x^2 - y^2 - x + y - y + x = 0$

$x^2 - y^2 = 0$

Разложим левую часть по формуле разности квадратов:

$(x - y)(x + y) = 0$

Это уравнение выполняется в двух случаях:

Случай 1: $x - y = 0$, откуда $x = y$.

Случай 2: $x + y = 0$, откуда $y = -x$.

Рассмотрим каждый случай отдельно.

Случай 1: $x = y$

Подставим $y = x$ в первое уравнение исходной системы $x^2 - x + 1 = y$:

$x^2 - x + 1 = x$

$x^2 - 2x + 1 = 0$

Свернем левую часть по формуле квадрата разности:

$(x - 1)^2 = 0$

$x - 1 = 0$

$x = 1$

Так как $y = x$, то $y = 1$.

Получили решение $(1, 1)$. Проверим его, подставив во второе уравнение системы $y^2 - y + 1 = x$:

$1^2 - 1 + 1 = 1$

$1 = 1$. Равенство верное, значит, пара $(1, 1)$ является решением.

Случай 2: $y = -x$

Подставим $y = -x$ в первое уравнение исходной системы $x^2 - x + 1 = y$:

$x^2 - x + 1 = -x$

$x^2 + 1 = 0$

$x^2 = -1$

Это уравнение не имеет действительных решений, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен.

Следовательно, единственным решением системы в действительных числах является пара $(1, 1)$.

Ответ: $(1, 1)$.